Hoạt động 3 trang 5 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Hoạt động 3 trang 5 Toán 12 Tập 2: Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác 0.

a) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hỏi kF(x) có phải là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K hay không?

b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. Đặt G(x) = kH(x) trên K. Hỏi H(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K hay không?

c) Nêu nhận xét về $\int k f (x) d x$ và $k \int f (x) d x$ .

Lời giải:

a) Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nên F'(x) = f(x).

Suy ra kF'(x) = kf(x). Vì k là hằng số thực khác 0 nên kF'(x) = (kF(x))'.

Do đó, (kF(x))' = kf(x). Vậy kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Vì G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K nên G'(x) = kf(x).

Lại có G(x) = kH(x), lấy đạo hàm hai vế ta được G'(x) = kH'(x).

Từ đó suy ra kH'(x) = kf(x), tức là H'(x) = f(x). Vậy H(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

c) Từ câu a, ta có $\int k f (x) d x = k F (x) + C$ . (1)

Lại có $\int f (x) d x = F (x) + C_{1}$ , suy ra $k \int f (x) d x = k (F (x) + C_{1}) = k F (x) + k C_{1}$ .

Vì C₁ tùy ý thuộc ℝ và k ≠ 0 nên C = kC₁ tùy ý thuộc ℝ.

Do đó, $k \int f (x) d x = k F (x) + C$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Giải bài tập lớp 12 Cánh diều khác