Luyện tập 4 trang 48 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Luyện tập 4 trang 48 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = AC = a, $\hat{B A C} = 120 °, S A = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ . Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng $\hat{S M A}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 48 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Xét tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A mà AM là trung tuyến nên AM là đường cao hay AM ⊥ BC.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AM ⊥ BC, suy ra BC ⊥ (SAM), do đó BC ⊥ SM.

Vì AM ⊥ BC và BC ⊥ SM nên $\hat{S M A}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Áp dụng định lí Côsin cho tam giác ABC, có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot c o s \hat{B A C}$ $= a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot c o s 120 °$ $= 2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \frac{1}{2} = 3 a^{2}$ $\Rightarrow B C = a \sqrt{3}$ .

Vì M là trung điểm của BC nên $B M = M C = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác AMB vuông tại M, có $A M = \sqrt{A B^{2} - B M^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a}{2}$

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AM.

Xét tam giác SAM vuông tại A, có: $\tan \hat{S M A} = \frac{S A}{A M} = \frac{\frac{a}{2 \sqrt{3}}}{\frac{a}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow \hat{S M A} = 30 °$ .

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng 30°.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác