Bài 7.17 trang 53 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 7.17 trang 53 Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng (ACC'A') ⊥ (BDD'B').

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng $\hat{C O C^{'}}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C, BD, C'], [A, BD,C'].

Lời giải:

Bài 7.17 trang 53 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên có các mặt là hình vuông.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì AA' ⊥ (ABCD) nên AA' ⊥ AC.

Xét tam giác A'AC vuông tại A, có $A^{'} C = \sqrt{A {A^{'}}^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + 2 a^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Vậy đường chéo của hình lập phương có độ dài là $a \sqrt{3}$ .

b) Vì AA' ⊥ (ABCD) nên AA' ⊥ BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD mà AA' ⊥ BD, suy ra BD ⊥ (ACC'A').

Vì BD ⊥ (ACC'A') nên (ACC'A') ⊥ (BDD'B').

c) Vì BD ⊥ (ACC'A') nên BD ⊥ C'O mà CO ⊥ BD (do AC ⊥ BD) nên $\hat{C O C^{'}}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [C, BD, C'].

Do ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, suy ra $A O = O C = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác C'CO vuông tại C, có $\tan \hat{C^{'} O C} = \frac{C C^{'}}{C O} = \frac{a}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow \hat{C^{'} O C} \approx 55 °$ .

Vậy số đo của các góc nhị diện [C, BD, C'] khoảng 55°.

Vì AO ⊥ BD (do AC ⊥ BD), BD ⊥ C'O nên $\hat{A O C^{'}}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BD,C'].

Vì $\hat{A O C^{'}} + \hat{C^{'} O C} = 180 °$ nên $\hat{A O C^{'}} = 180 ° - \hat{C^{'} O C} \approx 180 ° - 55 ° = 125 °$ .

Vậy số đo góc nhị diện [A, BD,C'] khoảng 125°.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác