HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) Sử dụng giới hạn $\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t} = 1$ và đẳng thức

ln(x + h) – lnx = $\ln (\frac{x + h}{x}) = \ln (1 + \frac{h}{x})$ , tính đạo hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức $\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}$ (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = log_ax.

Lời giải:

Với x > 0 bất kì và h = x – x₀ ta có:

$f^{'} (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln (x_{0} + h) - \ln x_{0}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\ln (1 + \frac{h}{x_{0}})}{\frac{h}{x_{0}} . x_{0}} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{x_{0}} . \lim_{h \to 0} \frac{\ln (1 + \frac{h}{x_{0}})}{\frac{h}{x_{0}}} = \frac{1}{x_{0}}$

Vậy hàm số y = ln x có đạo hàm là hàm số y' = $\frac{1}{x}$ .

Ta có $\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}$ nên ${(\log_{a} x)}^{'} = {(\frac{\ln x}{\ln a})}^{'} = \frac{1}{x \ln a}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác