Các công thức lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Lý thuyết Các công thức lượng giác

1. Công thức cộng

• cos(α + β) = cosα.cosβ – sinα.sinβ;            

• cos(α – β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ;

• sin(α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ;             

• sin(α – β) = sinα.cosβ − cosα.sinβ;

• $\mathrm{tan(}\left(\alpha +\beta \right))=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta };$                      

• $\mathrm{tan(}\left(\alpha -\beta \right))=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }.$

$=\sin \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{3}-\cos \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{3}$

$=1.\frac{1}{2}-0.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}.$

2. Công thức góc nhân đôi

- Công thức góc nhân đôi là công thức tính các giá trị lượng giác của góc 2α qua các giá trị lượng giác của góc α.

- Công thức góc nhân đôi bao gồm những công thức sau:

• cos2α = cos²α – sin²α = 2cos²α – 1 = 1 – 2sin²α;

• sin2α = 2sinα . cosα;

• $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }.$

⇒ ${\cos }^2\frac{\pi }{8}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}.$

Vì $0<\frac{\pi }{8}<\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \frac{\pi }{8}>0\Rightarrow \cos \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ:

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

• $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2};$       

• $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2};$

• $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2};$          

• $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}.$

Ví dụ:

Bài tập Các công thức lượng giác

Bài 1. Rút gọn biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

⇔ $P=-2\sin x$

Vậy P = −2sin x.

Bài 2. Chứng minh rằng: $\cos \alpha -\sin \alpha =\sqrt{2}\mathrm{cos(}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)).$

Hướng dẫn giải

Ta có:

Bài 3. Cho $\sin \alpha =\frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$ Tính các giá trị lượng giác của góc 2α.

Hướng dẫn giải

Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ ⇒ cos α < 0.

Ta có: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =\frac{8}{9}$

⇒ $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (do cos α < 0).

$\tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=-\frac{4\sqrt{2}}{9}.\frac{9}{7}=-\frac{4\sqrt{2}}{7}.$

$\cot 2\alpha =\frac{1}{\tan 2\alpha }=-\frac{7\sqrt{2}}{8}.$

Học tốt Các công thức lượng giác

Các bài học để học tốt Các công thức lượng giác Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 hay khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 1

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Dãy số

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---