Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1. Giới hạn 0 của dãy số

Ta nói (u_n) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| nhỏ hơn một số dương bé tùy ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$  hay $u_n\to 0$  khi $n\to +\infty$

Ví dụ: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2}{\sqrt{n}}$ . Tìm giới hạn của dãy số.

Hướng dẫn giải

Với n > 10 000   thì $\sqrt{n}>\sqrt{10000}=100$ .

Suy ra $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$ .

Một vài giới hạn đặc biệt:

• $\lim \frac{1}{n^k}=0$ , với k nguyên dương bất kì.

• $\lim q^n=0$ , với q là số thực thỏa mãn |q| < 1.

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{1}{n^3}$ ;

Hướng dẫn giải

a) Do 3 là một số nguyên dương nên $\lim \frac{1}{n^3}=0$ ;

b) Do |$\left|\frac{-1}{2}\right||=\frac{1}{2}<1$  nên $\lim {\left(\frac{-1}{2}\right)}^n=0.$

1.2. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số có giới hạn hữu hạn là số a (hay u_n dần tới a) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim (u_n – a) = 0.

Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$  hay lim u_n = a khi n → +∞.

Chú ý: Nếu u_n = c (c là hằng số) thì $\lim u_n=\lim c=c$

Ví dụ: Cho $u_n=\frac{-n+1}{2+3n}.$  Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{-1}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa, ta có $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\frac{1}{3}$ .

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Cho lim u_n = a, lim v_n = b và c là hằng số. Khi đó:

• lim (u_n + v_n) = a + b                        

• lim (u_n – v_n) = a – b

• lim (c.u_n) = c . a                               

• lim (u_n.u_n) = a . b

•  $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}\text{\hspace{0.33em}(}\left(b\ne 0\right)$ )                         

• Nếu $u_n\ge 0,\forall n\in \mathbb{N}\text{*}$  thì $a\ge 0$  và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{4n+5}{3-2n};$                                   

b) $\lim \frac{\sqrt{4n^2+3}}{2n}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{4n+5}{3-2n}=\frac{4+\frac{5}{n}}{\frac{3}{n}-2}$

Từ đó: $\lim \frac{4n+5}{3-2n}=\lim \frac{4+\frac{5}{n}}{\frac{3}{n}-2}=\frac{\lim \left(4+\frac{5}{n}\right)}{\lim \left(\frac{3}{n}-2\right)}$

b) $\lim \frac{\sqrt{4n^2+3}}{2n}=\lim \sqrt{\frac{4n^2+3}{4n^2}}=\lim \sqrt{1+\frac{3}{4n^2}}$

$=\sqrt{\lim \left(1+\frac{3}{4n^2}\right)}=\sqrt{\lim 1+\frac{3}{4}\lim \frac{1}{n^2}}=\sqrt{1+\frac{3}{4}.0}=1$.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q thõa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cấp số nhân lùi vô hạn nàu có tổng là:

$S=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n+\mathrm{...}=\frac{u_1}{1-q}$.

Ví dụ: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 

Hướng dẫn giải

Ta có dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $u_1=1$ và công bội $q=-\frac{1}{3}$  nên

4. Giới hạn vô cực

• Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = + ∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

• Dãy số (u_n) có giới hạn là −∞ khi n → +∞, nếu lim u_n = + ∞.

Kí hiệu: lim u_n = − ∞ hay u_n → −∞ khi n → +∞.

Chú ý:

• lim u_n = + ∞ ⇔ lim (−u_n) = − ∞;

• Nếu lim u_n = + ∞ hoặc lim u_n = − ∞ thì $\lim \frac{1}{u_n}=0$ ;

• Nếu lim u_n = 0 và u_n > 0 với mọi n thì $\lim \frac{1}{u_n}=+\infty$ .

Ví dụ: Tìm giới hạn $\lim 2^n$ .

Hướng dẫn giải

Từ 2 > 1 suy ra $0<\frac{1}{2}<1$

Mà 2ⁿ > 0 với mọi n nên lim 2ⁿ = + ∞.

Nhận xét:

• $\lim n^k=+\infty \left(k\in \mathbb{N},k\ge 1\right)$ ;

• $\lim q^n=+\infty \left(q>1\right)$ .

Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2n+6}{n-3}$ ;

b) $\lim \frac{n^3-n+3}{1-2n^3}$ ;

c) $\lim \frac{3^n-4^n+2}{3.4^n-5.2^n}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\lim \frac{2n+6}{n-3}=\lim \frac{2+\frac{6}{n}}{1-\frac{3}{n}}=2$ ;

b) $\lim \frac{n^3-n+3}{1-2n^3}=\lim \frac{1-\frac{n}{n^3}+\frac{3}{n^3}}{\frac{1}{n^3}-2}=\lim \frac{1-\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^3}}{\frac{1}{n^3}-2}=\frac{-1}{2}$ ;

Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là $\frac{-3}{5}$ và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Hướng dẫn giải

Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là: u₁ = 1.

Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: 

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là:  và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là $S=\frac{5}{8}$.

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \left(2n^3+n^2-4n-13\right)$ ;

b) $\lim \left(4.2^n-2.3^n+13n\right)$ .

Hướng dẫn giải

Bài tập tự luyện Giới hạn của dãy số

Bài 1. Tính giới hạn $\lim \frac{6n-1}{3n+2}$.

Bài 2. Tính giới hạn $\lim \frac{3n^2+n-5}{2n^2+1}$.

Bài 3. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi u₁ = 0, u₂ = 1, u_n+1 = 2u_n – u_n-1 + 2 với mọi n ≥ 2. Tìm limu_n?

Bài 4. Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\mathrm{...}+\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{2}$. Tìm limu_n?

Bài 5. Tìm D = $\lim \left(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt[3]{n^3+2n^2}\right)$.

Học tốt Giới hạn của dãy số

Các bài học để học tốt Giới hạn của dãy số Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 hay khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---