Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin α = \frac{\sqrt{15}}{4}$ với $\frac{π}{2} < α < π$ ;

b) $c o s α = - \frac{2}{3}$ với $- π < α < 0$ ;

c) tanα = 3 với ‒π < α < 0;

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Lời giải:

a) Do $\frac{π}{2} < α < π$ nên cosα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${(\frac{\sqrt{15}}{4})}^{2} + c o s^{2} α = 1$

$\Rightarrow c o s^{2} α = 1 - {(\frac{\sqrt{15}}{4})}^{2} = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$

$\Rightarrow c o s α = - \frac{1}{4}$ (do cosα < 0).

Ta có: $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{- \frac{1}{4}} = - \sqrt{15}$ ;

$\cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{1}{- \sqrt{15}} = - \frac{\sqrt{15}}{15}$ .

Vậy $c o s α = - \frac{1}{4}$ ; $\tan α = - \sqrt{15}$ và $\cot α = - \frac{\sqrt{15}}{15}$ .

b) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

$\sin^{2} α + {(- \frac{2}{3})}^{2} = 1$

$\Rightarrow \sin^{2} α = 1 - {(- \frac{2}{3})}^{2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ .

$\Rightarrow \sin α = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ (do sinα < 0).

Ta có: tanα = $\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{- \frac{\sqrt{5}}{3}}{- \frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ;

cotα = $\frac{1}{\tan α} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Vậy $\sin α = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ ; $\tan α = \frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

c) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0 khi khi $- \frac{π}{2} \leq α < 0$ , cosα < 0 khi $- π < α < - \frac{π}{2}$ .

Mà tanα = 3 > 0, do đó $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} > 0$ , từ đó suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{1}{3}$ .

Áp dụng công thức $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}$ , ta có

$1 + 3^{2} = \frac{1}{\cos^{2} α}$ hay $\frac{1}{\cos^{2} α} = 10$

=> $\Rightarrow \cos^{2} α = \frac{1}{10}$ => $\cos α = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ (do cosα < 0).

Áp dụng công thức $1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α}$ , ta có:

$1 + {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{\sin^{2} α}$ hay $\frac{1}{\sin^{2} α} = \frac{10}{9}$

$\Rightarrow \sin^{2} α = \frac{9}{10} \Rightarrow \sin α = - \frac{3}{\sqrt{10}} = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ (do sinα < 0).

Vậy $\sin α = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ; $\cos α = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ; $\cot α = \frac{1}{3}$ .

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\tan α = \frac{1}{\cot α} = \frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2}$ .

Do 0 < α < π nên sinα > 0.

Mà cotα = ‒2 < 0 nên $\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} < 0$ , suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức $1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α}$ , ta có:

1 + (-2)² = $\frac{1}{\sin^{2} α}$ hay $\frac{1}{\sin^{2} α}$ = 5

=> $\sin^{2} α = \frac{1}{5}$ => $\sin α = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ (do sinα > 0).

Ta có: $\cot α = \frac{\cos α}{\sin α}$ => $\cos α = \cot α . \sin α$ = $(- 2) . \frac{\sqrt{5}}{5} = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác hay, chi tiết khác:

Các bài học để học tốt Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác