Bài 2 trang 75 Toán 11 Tập 2 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Bài 2 trang 75 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) y = 3x² – 4x + 5 tại điểm x₀ = –2;

b) y = log₃(2x + 1) tại điểm x₀ = 3;

c) y = e^{4x + 3} tại điểm x₀ = 1;

d) $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ tại điểm $x_{0} = \frac{π}{6};$

e) $y = \cos (3 x - \frac{π}{6})$ tại điểm x₀ = 0.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = 3x² – 4x + 5, ta có:

y' = 6x – 4;

y'' = 6.

Do đó: y''(–2) = 6.

b) Xét hàm số y = log₃(2x + 1), ta có:

$y^{'} = {[l o g_{3} (2 x + 1)]}^{'} = \frac{{(2 x + 1)}^{'}}{(2 x + 1) \ln 3} = \frac{2}{(2 x + 1) \ln 3};$

$y^{''} = {[\frac{2}{(2 x + 1) \ln 3}]}^{'} = \frac{- 2 \cdot {[(2 x + 1) \ln 3]}^{'}}{{[(2 x + 3) \ln 3]}^{2}}$ $= \frac{- 2 \ln 3 \cdot 2}{{(2 x + 3)}^{2} \ln^{2} 3} = \frac{- 4}{{(2 x + 3)}^{2} \ln 3} .$

Do đó: $y^{''} (3) = \frac{- 4}{{(2 \cdot 3 + 3)}^{2} \ln 3} = \frac{- 4}{7^{2} \cdot \ln 3} = \frac{- 4}{49 \ln 3}$

c) Xét hàm số y = e^{4x + 3}, ta có:

y' = (e^{4x + 3})' = (4x + 3)'. e^{4x + 3} = 4e^{4x + 3};

y'' = (4e^{4x + 3})' = 4.(4x + 3)'.e^{4x + 3}= 16e^{4x + 3}.

Do đó: y''(1) = 16e^{4.1 + 3}= 16e⁷.

d) Xét hàm số $y = \sin (2 x + \frac{π}{3}),$ ta có:

$y^{'} = {[\sin (2 x + \frac{π}{3})]}^{'} = {(2 x + \frac{π}{3})}^{'} \cdot \cos (2 x + \frac{π}{3}) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{3});$

$y^{''} = {[2 \cos (2 x + \frac{π}{3})]}^{'} = 2 \cdot {(2 x + \frac{π}{3})}^{'} \cdot [- \sin (2 x + \frac{π}{3})] = - 4 \sin (2 x + \frac{π}{3}) .$

$y^{''} (\frac{π}{6}) = - 4 \sin (2 \cdot \frac{π}{6} + \frac{π}{3}) = - 4 \sin \frac{2 π}{3} = - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = - 2 \sqrt{3} .$

e) Xét hàm số $y = \cos (3 x - \frac{π}{6}),$ ta có:

$y^{'} = [\cos (3 x - \frac{π}{6})] = {(3 x - \frac{π}{6})}^{'} \cdot [- \sin (3 x - \frac{π}{6})] = - 3 \sin (3 x - \frac{π}{6});$

$y^{''} = {[- 3 \sin (3 x - \frac{π}{6})]}^{'} = - 3 {(3 x - \frac{π}{6})}^{'} \cdot \cos (3 x - \frac{π}{6}) = - 9 \cos (3 x - \frac{π}{6}) .$

Do đó: $y^{''} (0) = - 9 \cos (0 - \frac{π}{6}) = - 9 \cos (- \frac{π}{6}) = - 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{- 9 \sqrt{3}}{2} .$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác