Giải Toán 10 trang 40 Tập 2 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 40 Tập 2 trong Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 40.

HĐ4 trang 40 Toán 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (a; b)$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).

a) Chứng minh rằng $|\vec{n} . \vec{H M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ .

b) Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng: $\vec{n} . \vec{H M}$ = a(x₀ – x₁) + b(y₀ – y₁) = ax₀ + by₀ + c.

c) Chứng minh rằng $H M = \frac{|a x_{0} + b y_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0

Lời giải:

a) Do H là hình chiếu của M lên ∆ nên MH ⊥ ∆.

Vectơ $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của ∆ nên giá của vectơ $\vec{n}$ vuông góc với ∆.

Khi đó đường thẳng MH song song hoặc trùng với giá của vectơ $\vec{n}$ nên hai vectơ $\vec{H M}$ và $\vec{n}$ cùng phương.

Do đó hai vectơ $\vec{H M}$ và $\vec{n}$ cùng hướng hoặc ngược hướng.

+) Nếu hai vectơ $\vec{H M}$ và $\vec{n}$ cùng hướng thì $\vec{n} . \vec{H M} = |\vec{n}| . |\vec{H M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ .

+) Nếu hai vectơ $\vec{H M}$ và $\vec{n}$ ngược hướng thì $\vec{n} . \vec{H M} = - |\vec{n}| . |\vec{H M}| = - \sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ .

Vậy $|\vec{n} . \vec{H M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ .

b) Vì H thuộc ∆ nên tọa độ của H thỏa mãn phương trình ∆, thay tọa độ của H vào phương trình ∆ ta được: ax₁ + by₁ + c = 0 ⇔ c = – ax₁ – by₁ (1).

Ta lại có: $\vec{H M} = (x_{0} - x_{1}; y_{0} - y_{1})$ .

Suy ra: $\vec{n} . \vec{H M} = a (x_{0} - x_{1}) + b (y_{0} - y_{1})$ = ax₀ + by₀ – ax₁ – by₁ (2).

Từ (1) và (2) suy ra : $\vec{n} . \vec{H M} = a (x_{0} - x_{1}) + b (y_{0} - y_{1})$ = ax₀ + by₀ + c.

c) Theo câu a) ta có: $|\vec{n} . \vec{H M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ .

Theo câu b) ta có: $\vec{n} . \vec{H M}$ = ax₀ + by₀ + c.

Suy ra: |ax₀ + by₀ + c| = $\sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ .

Vậy $H M = \frac{|a x_{0} + b y_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

Trải nghiệm trang 40 Toán 10 Tập 2: Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải Ví dụ 4.

Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10)

Lời giải:

Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ là độ dài đoạn MH.

Dùng thước ta đo được MH có độ dài bằng 2 ô vuông trên mặt phẳng tọa độ Oxy nên MH = 2.

Kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả tính được trong lời giải của Ví dụ 4 vì điểm M ở đây có tọa độ trùng với điểm M của Ví dụ 4 và đường thẳng Δ có phương trình trùng với phương trình trong Ví dụ 4.

Luyện tập 5 trang 40 Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 5 + 3 t \\ y = - 5 - 4 t \end{cases}$ .

Lời giải:

Đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 5 + 3 t \\ y = - 5 - 4 t \end{cases}$ đi qua điểm A(5; – 5) và có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (3; - 4)$ , suy ra ∆ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (4; 3)$ .

Do đó, phương trình tổng quát của ∆ là: 4(x – 5) + 3(y + 5) = 0 hay 4x + 3y – 5 = 0.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, ta có:

d(M, ∆) = $\frac{|4.1 + 3.2 - 5|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{5}{5} = 1$ .

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là 1.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác