Giải Toán 10 trang 40 Tập 2 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 40 Tập 2 trong Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Toán lớp 10 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 40.

HĐ4 trang 40 Toán 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (a; b)$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).

a) Chứng minh rằng $|\vec{n} . \vec{H M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ .

b) Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng: $\vec{n} . \vec{H M}$ = a(x₀ – x₁) + b(y₀ – y₁) = ax₀ + by₀ + c.

c) Chứng minh rằng $H M = \frac{|a x_{0} + b y_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0

Lời giải:

a) Do H là hình chiếu của M lên ∆ nên MH ⊥ ∆.

Vectơ $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của ∆ nên giá của vectơ $\vec{n}$ vuông góc với ∆.

Khi đó đường thẳng MH song song hoặc trùng với giá của vectơ $\vec{n}$ nên hai vectơ $\vec{H M}$ và $\vec{n}$ cùng phương.

Do đó hai vectơ $\vec{H M}$ và $\vec{n}$ cùng hướng hoặc ngược hướng.

+) Nếu hai vectơ $\vec{H M}$ và $\vec{n}$ cùng hướng thì $\vec{n} . \vec{H M} = |\vec{n}| . |\vec{H M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ .

+) Nếu hai vectơ $\vec{H M}$ và $\vec{n}$ ngược hướng thì $\vec{n} . \vec{H M} = - |\vec{n}| . |\vec{H M}| = - \sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ .

Vậy $|\vec{n} . \vec{H M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ .

b) Vì H thuộc ∆ nên tọa độ của H thỏa mãn phương trình ∆, thay tọa độ của H vào phương trình ∆ ta được: ax₁ + by₁ + c = 0 ⇔ c = – ax₁ – by₁ (1).

Ta lại có: $\vec{H M} = (x_{0} - x_{1}; y_{0} - y_{1})$ .

Suy ra: $\vec{n} . \vec{H M} = a (x_{0} - x_{1}) + b (y_{0} - y_{1})$ = ax₀ + by₀ – ax₁ – by₁ (2).

Từ (1) và (2) suy ra : $\vec{n} . \vec{H M} = a (x_{0} - x_{1}) + b (y_{0} - y_{1})$ = ax₀ + by₀ + c.

c) Theo câu a) ta có: $|\vec{n} . \vec{H M}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ .

Theo câu b) ta có: $\vec{n} . \vec{H M}$ = ax₀ + by₀ + c.

Suy ra: |ax₀ + by₀ + c| = $\sqrt{a^{2} + b^{2}} . H M$ .

Vậy $H M = \frac{|a x_{0} + b y_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

Trải nghiệm trang 40 Toán 10 Tập 2: Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải Ví dụ 4.

Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10)

Lời giải:

Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ là độ dài đoạn MH.

Dùng thước ta đo được MH có độ dài bằng 2 ô vuông trên mặt phẳng tọa độ Oxy nên MH = 2.

Kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả tính được trong lời giải của Ví dụ 4 vì điểm M ở đây có tọa độ trùng với điểm M của Ví dụ 4 và đường thẳng Δ có phương trình trùng với phương trình trong Ví dụ 4.

Luyện tập 5 trang 40 Toán 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 5 + 3 t \\ y = - 5 - 4 t \end{cases}$ .

Lời giải:

Đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 5 + 3 t \\ y = - 5 - 4 t \end{cases}$ đi qua điểm A(5; – 5) và có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (3; - 4)$ , suy ra ∆ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (4; 3)$ .

Do đó, phương trình tổng quát của ∆ là: 4(x – 5) + 3(y + 5) = 0 hay 4x + 3y – 5 = 0.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, ta có:

d(M, ∆) = $\frac{|4.1 + 3.2 - 5|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{5}{5} = 1$ .

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là 1.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác