Giải Toán 10 trang 101 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 101 Tập 1 trong Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 101.

Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a) Tính: ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2}; {(\vec{i} - \vec{j})}^{2}; (\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j})$ .

b) Cho $\vec{a} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j}, \vec{b} = 3 \vec{i} - 3 \vec{j}$ . Tính tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ và tính góc $(\vec{a}, \vec{b})$ .

Lời giải:

Hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc nên $(\vec{i}, \vec{j}) = 90 °$ .

Ta có: $\vec{i} . \vec{j} = |\vec{i}| . |\vec{j}| . c o s (\vec{i}, \vec{j}) = 1.1. c o s 90 ° = 0$ .

a) ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {\vec{i}}^{2} + 2 \vec{i} . \vec{j} + {\vec{j}}^{2} = {|\vec{i}|}^{2} + 2 \vec{i} . \vec{j} + {|\vec{j}|}^{2}$ = 1² + 2 . 0 + 1² = 2.

${(\vec{i} - \vec{j})}^{2} = {\vec{i}}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} + {\vec{j}}^{2} = {|\vec{i}|}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} + {|\vec{j}|}^{2}$ = 1² – 2 . 0 + 1² = 2.

$(\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j}) = {\vec{i}}^{2} - {\vec{j}}^{2} = {|\vec{i}|}^{2} - {|\vec{j}|}^{2} = 1^{2} - 1^{2} = 0$

b) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = (2 \vec{i} + 2 \vec{j}) . (3 \vec{i} - 3 \vec{j}) = 2 (\vec{i} + \vec{j}) .3 (\vec{i} - \vec{j}) = 6. (\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j}) = 6.0 = 0$ .

Do đó $\vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

Vậy $(\vec{a}, \vec{b}) = 90 °$ .

Vận dụng 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Phân tử sulfur dioxide (SO₂) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\hat{O S O}$ gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ $\vec{μ_{1}}$ và $\vec{μ_{2}}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO₂. Tính độ dài của $\vec{μ}$ .

Phân tử sulfur dioxide (SO2) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết OSO gần bằng 120 độ

Lời giải:

Theo bài ra ta có: $|\vec{μ_{1}}| = |\vec{μ_{2}}| = 1, 6; (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{2}}) = \hat{O S O} = 120 °$ .

Do đó: $\vec{μ_{1}} . \vec{μ_{2}} = |\vec{μ_{1}}| . |\vec{μ_{2}}| . c o s (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{2}})$ = 1,6 . 1,6 . cos120° = – 1,28.

Vì $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ nên để tính độ dài của $\vec{μ}$ , ta tính độ dài của vectơ tổng $\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ .

Ta có: ${(\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}})}^{2} = {\vec{μ_{1}}}^{2} + 2 \vec{μ_{1}} . \vec{μ_{2}} + {\vec{μ_{2}}}^{2} = {|\vec{μ_{1}}|}^{2} + 2 \vec{μ_{1}} . \vec{μ_{2}} + {|\vec{μ_{2}}|}^{2}$

= 1,6² + 2 . (– 1,28) + 1,6² = 2,56

Suy ra ${|\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}|}^{2} = {(\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}})}^{2} = 2, 56 \Rightarrow |\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}| = 1, 6$ .

Vậy $|\vec{μ}| = |\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}| = 1, 6$ .

Bài 1 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A D}, \vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{C B}, \vec{A C} . \vec{B D}$ .

Lời giải:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: vectơ AB . vectơAD, vectơ AB . vectơAC

Vì ABCD là hình vuông nên $\hat{B A D} = 90 °, \hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{B A D} = 45 °$ , $\hat{A C B} = 45 °$ , hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

AC = BD = $\sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

+) $\vec{A B} . \vec{A D} = |\vec{A B}| . |\vec{A D}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A D}) = A B . A D . \cos \hat{B A D}$ = a . a . cos90° = 0.

+) $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A C}) = A B . A C . c o s \hat{B A C} = a . a \sqrt{2} . c o s 45 ° = a^{2}$ .

+) $\vec{A C} . \vec{C B} = (- \vec{C A}) . \vec{C B} = - (\vec{C A} . \vec{C B}) = - (|\vec{C A}| . |\vec{C B}| . c o s (\vec{C A}, \vec{C B}))$

$= - (C A . C B . \cos \hat{A C B}) = - (a \sqrt{2} . a . c o s 45 °) = - a^{2}$

+) Do AC và BD vuông góc với nhau nên $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ , do đó: $\vec{A C} . \vec{B D} = 0$ .

Bài 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{A O}$ ;

b) $\vec{A B} . \vec{A D}$ .

Lời giải:

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính vectơ AB . vectơ AC

Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC = AD = a, CD = AB = 2a, hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC ta có:

AC² = AB² + BC² = (2a)² + a² = 5a² $\Rightarrow A C = a \sqrt{5}$ .

Do đó: $B D = A C = a \sqrt{5}$ .

Suy ra: $A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} . a \sqrt{5} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Ta có: $co s \hat{B A O} = co s \hat{B A C} = \frac{A B}{A C} = \frac{2 a}{a \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

a) $\vec{A B} . \vec{A O} = |\vec{A B}| . |\vec{A O}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A O}) = A B . A O . \cos \hat{B A O} = 2 a . \frac{a \sqrt{5}}{2} . \frac{2}{\sqrt{5}} = 2 a^{2}$

b) $\vec{A B} . \vec{A D} = |\vec{A B}| . |\vec{A D}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A D}) = A B . A D . c o s \hat{B A D}$ = 2a . a . cos90° = 0.

Bài 3 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\vec{O A} . \vec{O B}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.

Lời giải:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng vectơ OA . vectơ OB trong hai trường hợp

Khi đó hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ cùng hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 0 °$ .

Do đó: $\vec{O A} . \vec{O B} = |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . c o s (\vec{O A}, \vec{O B})$ $= a . b . c o s 0 ° = a b$ .

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng vectơ OA . vectơ OB trong hai trường hợp

Khi đó hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180 °$ .

Do đó: $\vec{O A} . \vec{O B} = |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . c o s (\vec{O A}, \vec{O B}) = a . b . c o s 180 ° = - a b$ .

Bài 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: $\vec{M A} . \vec{M B} = M O^{2} - O A^{2}$ .

Lời giải:

Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: vectơ MA. vectơ MB = MO^2 - OA^2

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB và $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$ .

Do hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180 °$ .

Do đó: $\vec{O A} . \vec{O B} = |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . c o s (\vec{O A}, \vec{O B})$

$= O A . O B . c o s 180 ° = - O A . O A = - O A^{2}$

Với điểm M tùy ý ta có: $\vec{M A} . \vec{M B} = (\vec{M O} + \vec{O A}) . (\vec{M O} + \vec{O B})$

$\begin{array}{l} = {\vec{M O}}^{2} + \vec{M O} . \vec{O B} + \vec{O A} . \vec{M O} + \vec{O A} . \vec{O B} \\ = {|\vec{M O}|}^{2} + (\vec{O A} + \vec{O B}) . \vec{M O} + \vec{O A} . \vec{O B} \\ = M O^{2} + \vec{0} . \vec{M O} + (- O A^{2}) = M O^{2} - O A^{2} \end{array}$

Vậy $\vec{M A} . \vec{M B} = M O^{2} - O A^{2}$ .

Bài 5 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực $\vec{F}$ hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ .

Lời giải:

Lực $\vec{F}$ có độ lớn là 90 N.

Quãng đường dịch chuyển của vật là 100 m.

Góc tạo bởi lực $\vec{F}$ với hướng dịch chuyển là 60°.

Vây công sinh bởi lực $\vec{F}$ là:

A = 90 . 100 . cos60° = 4500 (J).

Bài 6 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Lời giải:

Giả sử hai vectơ đề bài cho là $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Theo bài ra ta có: $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 4, \vec{a} . \vec{b} = - 6$ .

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b})$

Suy ra: $c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{- 6}{3.4} = \frac{- 1}{2}$ .

Vậy $(\vec{a}, \vec{b}) = 120 °$ .

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ Chân trời sáng tạo hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác