Bài 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Trang trước Trang sau

Bài 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình $\frac{x^{2}}{28^{2}} - \frac{y^{2}}{42^{2}} = 1$ (Hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Bài 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 10

Lời giải:

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, điểm O là tâm đối xứng của hypebol:

Gọi hai điểm A và B như hình vẽ.

Đặt khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là h. Khi đó khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng là $\frac{2}{3}$ h.

Theo đầu bài ta có: h + $\frac{2}{3}$ h = 150

⇔ $\frac{5}{3}$ h = 150

⇔ h = 150 : $\frac{5}{3}$

⇔ h = 90.

Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm A đến trục hoành hay là tung độ của điểm A.

⇒ y_A = $\frac{2}{3}$ h = $\frac{2}{3}$ .90 = 60.

Vì A thuộc hypebol nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình $\frac{x^{2}}{28^{2}} - \frac{y^{2}}{42^{2}} = 1$

⇒ $\frac{x_{A}^{2}}{28^{2}} - \frac{y_{A}^{2}}{42^{2}} = 1$

⇔ $\frac{x_{A}^{2}}{28^{2}} - \frac{60^{2}}{42^{2}} = 1$

⇔ $\frac{x_{A}^{2}}{28^{2}} - \frac{100}{49} = 1$

⇔ $\frac{x_{A}^{2}}{28^{2}} = \frac{149}{49}$

⇔ $x_{A}^{2} = 2384$

⇔ $x_{A} = 4 \sqrt{149}$

⇒ $A (4 \sqrt{149}; 60)$

Mặt khác điểm A thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ A đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng $4 \sqrt{149}$ .

Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm B đến trục hoành hay là tung độ của điểm B.

⇒ y_B = -h = -90.

Vì B thuộc hypebol nên tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình $\frac{x^{2}}{28^{2}} - \frac{y^{2}}{42^{2}} = 1$

⇒ $\frac{x_{B}^{2}}{28^{2}} - \frac{y_{B}^{2}}{42^{2}} = 1$

⇔ $\frac{x_{B}^{2}}{28^{2}} - \frac{{(- 90)}^{2}}{42^{2}} = 1$

⇔ $\frac{x_{B}^{2}}{28^{2}} - \frac{225}{49} = 1$

⇔ $\frac{x_{B}^{2}}{28^{2}} = \frac{274}{49}$

⇔ $x_{B}^{2} = 4384$

⇔ $x_{B} = 4 \sqrt{274}$

⇒ $B (4 \sqrt{274}; 90)$

Mặt khác điểm B thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ B đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng $4 \sqrt{274}$ .

Vậy bán kính đường tròn nóc là $4 \sqrt{149}$ và bán kính đường tròn đáy là $4 \sqrt{274}$ .

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác