Giải Toán 10 trang 77 Tập 1 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 77 Tập 1 trong Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 77.

Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, $\hat{C} = 120 °$ . Tính:

a) Độ dài cạnh AB;

b) Số đo các góc A, B;

c) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, góc C = 120 độ . Tính

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC²– 2 . AC . BC . cos C = 12² + 15² – 2 . 12 . 15 . cos 120° = 549

$\Rightarrow A B = 3 \sqrt{61}$

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin A = \frac{B C . \sin C}{A B} = \frac{12. \sin 120 °}{3 \sqrt{61}} = \frac{2 \sqrt{183}}{61}$

Do đó: $\hat{A} \approx 26,3 °$ .

Lại có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{B} = 180 ° - (\hat{A} + \hat{C}) = 180 ° - (26,3 ° + 120 °) = 33,7 °$

c) Diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A = \frac{1}{2} .3 \sqrt{61} .15. \frac{2 \sqrt{183}}{61} = 45 \sqrt{3}$ (đvdt).

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, $\hat{A} = 120 °$ . Tính độ dài cạnh AC.

Lời giải:

Cách 1: áp dụng định lí sin và côsin

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, góc A = 120 độ . Tính độ dài cạnh AC.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin C = \frac{A B . \sin A}{B C} = \frac{5. \sin 120 °}{7} = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ .

Do đó: $\hat{C} \approx 38,2 °$ .

Lại có $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{B} = 180 ° - (\hat{A} + \hat{C}) = 180 ° - (120 ° + 38,2 °) = 21,8 °$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² – 2 . AB . AC . cos B = 5² + 7² – 2 . 5 . 7 . cos 21,8° ≈ 9

⇒ AC ≈ 3.

Cách 2: Dựng thêm đường cao và sử dụng định lí Pythagore.

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, góc A = 120 độ . Tính độ dài cạnh AC.

Dựng đường cao CH của tam giác ABC.

Đặt AH = x.

Ta có: $\hat{B A C} + \hat{C A H} = 180 °$ ( kề bù).

$\Rightarrow \hat{C A H} = 180 ° - \hat{B A C} = 180 ° - 120 ° = 60 °$ .

Tam giác ACH vuông tại H nên

$c o s \hat{C A H} = \frac{A H}{C A} \Rightarrow C A = \frac{A H}{c o s \hat{C A H}} = \frac{x}{c o s 60 °} = \frac{x}{\frac{1}{2}} = 2 x$ .

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: $C H = x \sqrt{3}$ .

Và BC² = BH²+ CH² = (BA + AH)² + CH²

Thay số: 7²= (5 + x)² + 3x² (1)

Giải phương trình (1) ta được x = 1,5 là giá trị thỏa mãn.

Suy ra AC = 2x = 2 . 1,5 = 3.

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 100, $\hat{B} = 100 °$ ; $\hat{C} = 45 °$ . Tính:

a) Độ dài các cạnh AC, BC;

b) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có AB = 100, góc B = 100 độ , góc C = 45 độ . Tính

a) Tam giác ABC có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{A} = 180 ° - (\hat{B} + \hat{C}) = 180 ° - (100 ° + 45 °) = 35 °$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B}$

Suy ra: $A C = \frac{A B . \sin B}{\sin C} = \frac{100. \sin 100 °}{\sin 45 °} \approx 139, 3$ ;

$B C = \frac{A B . \sin A}{\sin C} = \frac{100. \sin 35 °}{\sin 45 °} \approx 81, 1$

Vậy AC ≈ 139,3 và BC ≈ 81,1.

b) Diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2} B C . C A . \sin C = \frac{1}{2} .81, 1.139, 3. \sin 45 ° \approx 3994,2$ (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 3994,2 đvdt.

Bài 4 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:

a) Số đo các góc A, B, C;

b) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính: Số đo các góc A, B, C

a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

$\cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{12^{2} + 15^{2} - 20^{2}}{2.12.15} = - \frac{31}{360}$ ⇒ $\hat{A} \approx 95^{\circ}$

$\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C} = \frac{12^{2} + 20^{2} - 15^{2}}{2.12.20} = \frac{319}{480}$ ⇒ $\hat{B} \approx 48^{\circ}$

$\cos C = \frac{B C^{2} + A C^{2} - A B^{2}}{2. B C . A C} = \frac{20^{2} + 15^{2} - 12^{2}}{2.20.15} = \frac{481}{600}$ ⇒ $\hat{C} \approx 37^{\circ}$

Vậy $\hat{A} \approx 95 °; \hat{B} \approx 48 °; \hat{C} \approx 37 °$ .

b) Diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin A \approx \frac{1}{2} .12.15. \sin 95 \approx 90$

Vậy diện tích tam giác ABC là 90 đvdt.

Bài 5 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau

Lời giải:

* Hình 29: Góc B nhọn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B = \frac{A C . \sin A}{B C} = \frac{5, 2. \sin 40 °}{3, 6} \approx 0, 93$ .

Do đó: $\hat{B} \approx 68 °$ .

Lại có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{C} = 180 ° - (\hat{A} + \hat{B}) = 180 ° - (40 ° + 68 °) = 72 °$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC² – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)² + (3,6)²– 2 . 5,2 . 3,6 . cos 72° ≈ 28,43

⇒ AB ≈ 5,33 (m).

* Hình 30: Góc B tù.

Khi đó: $\hat{B} = 180 ° - 68 ° = 112 °$ .

Ta tính được: $\hat{C} = 28 °$ .

Do đó:

AB² = AC² + BC² – 2 . AC . BC . cos C = (5,2)² + (3,6)²– 2 . 5,2 . 3,6 . cos 28° ≈ 6,94

⇒ AB ≈ 2,63 (m).

Bài 6 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và $\hat{A C B} = 105 °$ (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B

Lời giải:

Nối A với B, ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC.

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B

Đổi 1 km = 1 000 m.

Tam giác ABC có AC = 1 000 m, CB = 800 m, $\hat{A C B} = 105 °$ .

Áp dụng định lí côsin ta có:

AB² = AC² + CB² – 2 . AC . CB . cosACB

= 1 000² + 800² – 2 . 1 000 . 800 . cos 105°

≈ 2 054 110,5

Do đó: AB ≈ 1 433,2 m.

Vậy khoảng cách AB khoảng 1 433,2 m.

Bài 7 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 45° và 75°. Biết khoảng cách giữa hai bị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng

Lời giải:

Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng

Giả sử C là vị trí của ngọn hải đăng, kẻ CH vuông góc AB thì CH là khoảng cách giữa ngọn hải đăng và bờ.

Ta có: $\hat{C B H}$ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC.

Nên $\hat{B A C} + \hat{A C B} = \hat{C B H}$ .

$\Rightarrow \hat{A C B} = \hat{C B H} - \hat{B A C} = 75 ° - 45 ° = 30 °$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

$\Rightarrow B C = \frac{A B . \sin A}{\sin C} = \frac{30. \sin 45 °}{\sin 30 °} = 30 \sqrt{2}$ .

Tam giác CBH vuông tại H nên $\sin \hat{C B H} = \frac{C H}{B C}$

$\Rightarrow C H = B C . \sin \hat{C B H} = 30 \sqrt{2} . \sin 75 ° = 15 + 15 \sqrt{3} \approx 41$

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 41 m.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Cánh diều khác