Giải Toán 10 trang 75 Tập 1 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 75 Tập 1 trong Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 75.

Hoạt động 5 trang 75 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24).

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24)

a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng:

$\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , ở đó $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

b) Bằng cách sử dụng công thức $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ , hãy chứng tỏ rằng:

$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos A

$\Rightarrow \cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ (1)

Ta lại có: sin² A + cos² A = 1

Do đó: sin² A = 1 – cos² A

Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° < $\hat{A}$ < 180° nên sin A > 0.

Nên $\sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A}$ $= \sqrt{\frac{{(2 b c)}^{2}}{{(2 b c)}^{2}} - \frac{{(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}{{(2 b c)}^{2}}}$

$= \sqrt{\frac{{(2 b c)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}{{(2 b c)}^{2}}}$ $= \sqrt{\frac{(2 b c + b^{2} + c^{2} - a^{2}) (2 b c - b^{2} - c^{2} + a^{2})}{{(2 b c)}^{2}}}$

$= \frac{\sqrt{({(b + c)}^{2} - a^{2}) (a^{2} - {(b - c)}^{2})}}{2 b c}$ $= \frac{\sqrt{(b + c + a) (b + c - a) (a + b - c) (a - b + c)}}{2 b c}$

$= \frac{\sqrt{(a + b + c) (a + b + c - 2 a) (a + b + c - 2 c) (a + b + c - 2 b)}}{2 b c}$

Lại có $p = \frac{a + b + c}{2} \Rightarrow a + b + c = 2 p$

Khi đó: $\sin A = \frac{\sqrt{2 p . (2 p - 2 a) (2 p - 2 b) (2 p - 2 c)}}{2 b c}$ $= \frac{\sqrt{16 p (p - a) (p - b) (p - c)}}{2 b c}$

Vậy $\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

b) Diện tích tam giác ABC là $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ .

Mà $\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

Nên $S = \frac{1}{2} b c . \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Vậy $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Cánh diều khác