Cho tam giác nhọn ABC (AB nhỏ hơn AC) có các đường cao AD, BE, CF. Cho EF cắt BC tại K. Chứng minh rằng

Trang trước Trang sau

Bài 9.52 trang 62 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có các đường cao AD, BE, CF. Cho EF cắt BC tại K. Chứng minh rằng:

a) KB . KC = KE . KF;

b) $\frac{K B}{K C} = \frac{D B}{D C}$

Lời giải:

Cho tam giác nhọn ABC (AB nhỏ hơn AC) có các đường cao AD, BE, CF. Cho EF cắt BC tại K. Chứng minh rằng

a) Do $\hat{B F C} = \hat{B E C} = 90 °$ nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Tương tự, tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn đường kính AC, tứ giác AEBD nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Vì tổng các góc đối nhau của tứ giác nội tiếp BFCE bằng 180° nên $\hat{K F B} = 180 ° - \hat{B F E} = \hat{B C E}$

Xét ∆KFC và ∆KCE có:

$\hat{K F B} = \hat{B C E} = \hat{K C E}$

$\hat{F K B} = \hat{C K E}$ (góc chung)

Suy ra ∆KFB ᔕ ∆KCE (g.g).

Do đó $\frac{K F}{K C} = \frac{K B}{K E}$ hay KB . KC = KE . KF (đpcm).

b) Xét hai tam giác KEB và KCF có:

$\hat{K E B} = \hat{K C F}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{⏜}{B F}$ của đường tròn đường kính BC)

$\hat{E K B} = \hat{C K F}$ (góc chung)

Suy ra ∆KEB ᔕ ∆KCF (g.g).

Do đó $\frac{K E}{K C} = \frac{E B}{C F}$

Mà $\frac{K B}{K E} = \frac{F B}{C E}$ (vì ∆KFB ᔕ ∆KCE) nên $\frac{K B}{K C} = \frac{K B}{K E} . \frac{K E}{K C} = \frac{B F}{C F} . \frac{B E}{C E}$ . (1)

Tương tự, hai tam giác BDF và BAC có:

$\hat{B D F} = 180 ° - \hat{F D C} = \hat{B A C}$

$\hat{D B F} = \hat{A B C}$ (góc chung)

Suy ra ∆BDF ᔕ ∆BAC (g.g).

Do đó $\frac{D B}{A B} = \frac{B F}{B C}$

Tương tự, suy ra $\frac{D C}{A C} = \frac{C E}{B C}$

Do đó $\frac{D B}{D C} = \frac{B F}{C E} . \frac{A B}{A C}$ . (2)

Mà ∆BDF ᔕ ∆BAC (g.g) do đây là hai tam giác vuông có chung góc nhọn A nên $\frac{A B}{A C} = \frac{B E}{C F}$ . (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{K B}{K C} = \frac{D B}{D C}$ .(đpcm)

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 9 hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác