Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD

Trang trước Trang sau

Bài 14 trang 100 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (D thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Chứng minh rằng:

a) MA.MB = MC.MD.

b) Tứ giác ABEC là hình thang cân.

c) Tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O).

Lời giải:

Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD

Do AB ⊥ CD nên $\hat{A M C} = \hat{D M B} = 90 ° .$

a) Xét đường tròn (O) có $\hat{A C D} = \hat{A B D}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD).

Xét ∆MAC và ∆MDB, có:

$\hat{A M C} = \hat{D M B} = 90 °, \hat{A C M} = \hat{D B M}$

Do đó ∆MAC ᔕ ∆MDB (g.g).

Suy ra $\frac{M A}{M D} = \frac{M C}{M B}$ hay MA.MB = MC.MD.

b) Vì DE là đường kính của đường tròn (O) nên $\hat{E C D} = \hat{E B D} = 90 ° .$

Suy ra CE ⊥ CD.

Mà AB ⊥ CD nên AB // CE, do đó tứ giác ABEC là hình thang.

Mặt khác, $\hat{C A B} + \hat{A C M} = 90 °$ (tổng hai góc nhọn trong ∆ACM vuông tại M);

$\hat{E B A} + \hat{M B D} = \hat{E B D} = 90 °;$

$\hat{A C M} = \hat{D B M}$

Suy ra $\hat{E B A} = \hat{C A B} .$

Hình thang ABEC có $\hat{E B A} = \hat{C A B}$ nên ABEC là hình thang cân.

c) Xét ∆ACM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = MA² + MC².

Xét ∆BDM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

BD² = MB² + MD².

Do đó MA² + MB² + MC² + MD² = AC² + BD².

Lại có AC = BE (vì ABEC là hình thang cân) nên:

MA² + MB² + MC² + MD² = AC² + BD² = BE² + BD².

Xét ∆BDE vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:

DE² = BD² + BE².

Do đó MA² + MB² + MC² + MD² = BE² + BD² = DE² = (2R)² = 4R², đây là giá trị không đổi do R không đổi.ở

Vậy tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi.

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Chân trời sáng tạo khác