Hai ròng rọc có dạng hình tròn (O; 4a) và (O’; a) với hai tiếp tuyến chung MN và PQ

Trang trước Trang sau

Bài 42 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1: Hai ròng rọc có dạng hình tròn (O; 4a) và (O’; a) với hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A sao cho $\hat{M A P} = 60 °$ (Hình 46). Tìm độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc theo a.

Lời giải:

Xét tứ giác ANO’Q có: $\hat{A N O^{'}} + \hat{A Q O^{'}} + \hat{N O^{'} Q} + \hat{N A Q} = 360 °$

Suy ra $\hat{N O^{'} Q} = 360 ° - \hat{A N O^{'}} - \hat{A Q O^{'}} - \hat{N A Q} = 360 ° - 90 ° - 90 ° - 60 ° = 120 ° .$

Tương tự, trong tứ giác AMOP ta cũng có $\hat{M O P} = 120 ° .$

Khi đó số đo của cung nhỏ NQ trong (O’) bằng 120° và số đo của cung lớn MP trong (O) bằng 360° – 120° = 240°.

Độ dài cung nhỏ NQ là: $l_{1} = \frac{π a \cdot 120}{180} = \frac{2 π a}{3} .$

Độ dài cung lớn MP là: $l_{2} = \frac{π \cdot 4 a \cdot 240}{180} = \frac{16 π a}{3} .$

Do AM, AP là hai tiếp tuyến của (O) nên AM = AP và AO là tia phân giác của MAP.

Nên $\hat{O A M} = \frac{1}{2} \hat{M A P} = \frac{1}{2} \cdot 60 ° = 30 ° .$

Xét ∆OAM vuông tại M có $A M = O M \cdot \cot \hat{O A M} .$

Do AN, AQ là hai tiếp tuyến của (O’) nên AN = AQ và AO’ là tia phân giác của MAP.

Khi đó AO và AO’ trùng nhau.

Xét ∆O’AN vuông tại N có $A N = O^{'} N \cdot \cot \hat{O^{'} A N} = O^{'} N \cdot \cot \hat{O A M} .$

Ta có: $M N = P Q = A M - A N = O M \cdot \cot \hat{O A M} - O^{'} N \cdot \cot \hat{O A M}$

$= (O M - O^{'} N) \cdot \cot \hat{O A M} = (4 a - a) \cdot \cot 30 ° = 3 a \sqrt{3} .$

Độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc là:

$\frac{2 π a}{3} + \frac{16 π a}{3} + 2 \cdot 3 a \sqrt{3} = 6 a (π + \sqrt{3}) .$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác