Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R), Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R)

Trang trước Trang sau

Bài 41 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R). Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại M. Kẻ tiếp tuyến thứ hai AN của đường tròn (O; R). Gọi S1 là diện tích của hình tạo bởi cung ACB và dây AB của đường tròn (O; 2 R), S2 là diện tích của hình tạo bởi hai tiếp tuyến AM, AN và cung nhỏ MN của đường tròn (O; R) và S3 là diện tích của hình tròn (O; R) (Hình 45). Chứng minh S1 + S2 = S3.

Lời giải:

Do AM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên AM ⊥ OM tại M.

Xét tam giác OAM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OM² + AM²

Suy ra $A M = \sqrt{O A^{2} - O M^{2}}$ và $c o s \hat{A O M} = \frac{O M}{O A} = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2}$

Do đó $A M = \sqrt{{(2 R)}^{2} - R^{2}} = \sqrt{3 R^{2}} = R \sqrt{3}$ và $\hat{A O M} = 60 ° .$

Xét ∆OAM (vuông tại M) và ∆OBM (vuông tại M) có:

OA = OB, cạnh OM chung

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $A M = B M = \frac{A B}{2}$ và $\hat{A O M} = \hat{B O M} = \frac{\hat{A O B}}{2} .$

Nên $A B = 2 A M = 2 R \sqrt{3}$ và $\hat{A O B} = 2 \hat{A O M} = 2 \cdot 60 ° = 120 ° .$

Do AM, AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OA là tia phân giác của góc MON, suy ra $\hat{M O N} = 2 \hat{A O M} = 2 \cdot 60 ° = 120 ° .$

Ta có:

⦁ S₁ = Diện tích hình quạt tròn AOB ‒ Diện tích tam giác OAB

Suy ra $S_{1} = \frac{π {(2 R)}^{2} \cdot 120}{360} - \frac{1}{2} \cdot R \cdot 2 R \sqrt{3} = R^{2} (\frac{4 π}{3} - \sqrt{3});$

⦁ S₂ = 2. Diện tích tam giác OAM ‒ Diện tích hình quạt tròn MON

Suy ra $S_{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \sqrt{3} - \frac{π R \cdot 120}{360} = R^{2} (\sqrt{3} - \frac{π}{3});$

⦁ S₃ = Diện tích hình tròn (O; R) = πR².

Khi đó $S_{1} + S_{2} = R^{2} (\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}) + R^{2} (\sqrt{3} - \frac{π}{3})$

$= R^{2} (\frac{4 π}{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \frac{π}{3}) = π R^{2} = S_{3} .$

Vậy S₁ + S₂ = S₃.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác