Cho tam giác ABC cân ở A có góc BAC = 120 độ. Đường trung trực của các cạnh AB và AC

Trang trước Trang sau

Bài 90 trang 95 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân ở A có $\hat{B A C} = 120 °$ . Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I và cắt cạnh BC lần lượt tại D, E (Hình 56).

a) Chứng minh điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Đường tròn tâm I bán kính IA đi qua những điểm nào?

c) Tính số đo các góc của tam giác IBC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân ở A có góc BAC = 120 độ. Đường trung trực của các cạnh AB và AC

a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB.

•Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\hat{B} = \hat{C}$ .

Vì Q là trung điểm của AB nên AQ = QB = $\frac{1}{2}$ AB.

Vì P là trung điểm của AC nên AP = PC = $\frac{1}{2}$ AC.

Mà AB = AC nên AQ = BQ = AP = CP.

• Xét ∆AQIvà ∆API có:

$\hat{A Q I} = \hat{A P I} (= 90 °)$ ,

AI là cạnh chung,

AQ = AP (chứng minh trên)

Do đó ∆AQI= ∆API (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó QI = PI (hai cạnh tương ứng).

• Xét ∆BQD và ∆CPE có:

$\hat{B Q D} = \hat{C P E} (= 90 °)$ ,

$\hat{B} = \hat{C}$ (chứng minh trên),

BQ = CP (chứng minh trên)

Do đó ∆BQD = ∆CPE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra QD = PE (hai cạnh tương ứng).

• Ta có: QI = QD + DI và PI = PE + EI.

Mà QI = PI và QD = PE (chứng minh trên)

Do đó DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Vậy điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Vì I nằm trên đường trung trực của AB nên IA = IB.

Vì I nằm trên đường trung trực của AC nên IA = IC.

Suy ra IA = IB = IC

Nên đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C

Vậy đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C.

c) Vì ∆AQI= ∆API (chứng minh câu a)

Nên $\hat{Q A I} = \hat{P A I}$ (hai góc tương ứng)

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC và $\hat{B A I} = \hat{C A I} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = \frac{1}{2} .120 ° = 60 °$

Xét tam giác ABI có IA = IB (chứng minh câu b) nên tam giác ABI cân tại I.

Lại có $\hat{B A I} = 60 °$ nên tam giác ABI là tam giác đều.

Do đó IA = IB = AB.

Mà AB = AC, IA = IB = IC nên IA = IB = IC = AB = AC.

Xét ∆BAC và ∆BIC có:

AB = IB (chứng minh trên),

AC = IC (chứng minh trên),

BC là cạnh chung

Do đó ∆BAC = ∆BIC (c.c.c)

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{I B C}, \hat{B A C} = \hat{B I C} \hat{, A C B} = \hat{I C B}$ (các cặp góc tương ứng)

Xét ∆ABC có $\hat{A B C} + \hat{A C B} + \hat{B A C} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác).

Mà $\hat{B A C} = 120 °$ (giả thiết) và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (do ∆ABCcân tại A).

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{180 ° - \hat{B A C}}{2} = \frac{180 ° - 120 °}{2} = 30 °$ .

Do đó $\hat{I B C} = \hat{I C B} = 30 °, \hat{B I C} = 120 °$

Vậy $\hat{I B C} = \hat{I C B} = 30 °, \hat{B I C} = 120 °$ .

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Cánh diều khác