Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc

Trang trước Trang sau

Bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) BC $⊥$ (OAH);

b) H là trực tâm của tam giác ABC;

c) $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ .

Lời giải:

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc

a) Vì OA $⊥$ OB, OA $⊥$ OC nên OA $⊥$ (OBC). Suy ra OA $⊥$ BC.

Mà OH $⊥$ (ABC) nên OH $⊥$ BC. Do đó BC $⊥$ (OAH).

b) Vì BC $⊥$ (OAH) nên BC $⊥$ AH, do đó AH là đường cao của tam giác ABC. (1)

Có OH $⊥$ (ABC) nên OH $⊥$ AC.

Có OB $⊥$ OA, OC $⊥$ OB nên OB $⊥$ (OAC) nên OB $⊥$ AC mà OH $⊥$ AC, từ đó suy ra AC $⊥$ (OBH), suy ra CA $⊥$ BH, do đó BH là đường cao của tam giác ABC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra H là giao hai đường cao của tam giác ABC.

Do đó H là trực tâm của tam giác ABC.

c) Gọi K là giao điểm của AH với BC.

Vì OA $⊥$ (OBC) nên OA $⊥$ OK .

Xét tam giác OAK vuông tại O, có OH là đường cao nên $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O K^{2}}$ .

Vì AK $⊥$ BC mà OA $⊥$ BC nên BC $⊥$ (OAK), suy ra OK $⊥$ BC.

Xét tam giác OBC vuông tại O, có OK là đường cao nên $\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ .

Do đó $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác