Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), tam giác ABC nhọn

Trang trước Trang sau

Bài 7.11 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $⊥$ (ABC), tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) BC $⊥$ (SAH) và các đường thẳng AH, BC, SK đồng quy;

b) SB $⊥$ (CHK) và HK $⊥$ (SBC).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), tam giác ABC nhọn

a) Vì H là trực tâm tam giác ABC nên BC $⊥$ AH,

mà SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ BC. Do đó BC $⊥$ (SAH).

Gọi M là giao điểm của AH và BC, ta có BC $⊥$ (SAM) nên BC $⊥$ SM.

Mặt khác, K là trực tâm của tam giác SBC nên SM đi qua K.

Do đó AH, BC, SK đồng quy.

b) Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ CH, mà CH $⊥$ AB, suy ra CH $⊥$ (SAB).

Do đó CH $⊥$ SB.

Lại có SB $⊥$ CK nên SB $⊥$ (CHK).

Xét tam giác SBC, K là trực tâm nên BK $⊥$ SC.

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ BH mà BH $⊥$ CA nên BH $⊥$ (SAC), suy ra BH $⊥$ SC.

Vì BK $⊥$ SC và BH $⊥$ SC nên SC $⊥$ (BHK), suy ra SC $⊥$ HK.

Mà SB $⊥$ HK (vì SB $⊥$ (CHK)). Do đó HK $⊥$ (SBC).

Lời giải SBT Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác