Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có góc BAC = 60 độ

Trang trước Trang sau

Bài 7.54 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $\hat{B A C} = 60 °$ , AB = 2a, AC = 3a và số đo của góc nhị diện [A', BC, A] bằng 45°.

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC).

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Lời giải:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có góc BAC = 60 độ

a) Kẻ AH $⊥$ BC tại H.

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên A'A $⊥$ (ABC), suy ra A'A $⊥$ BC mà AH $⊥$ BC nên BC $⊥$ (A'AH).

Kẻ AK $⊥$ A'H tại K, lại có BC $⊥$ AK (do BC $⊥$ (A'AH)) nên AK $⊥$ (A'CB).

Do đó d(A, (A'BC)) = AK.

Có BC $⊥$ (A'AH) nên BC $⊥$ A'H mà AH $⊥$ BC nên góc nhị diện [A', BC, A] bằng $\hat{A H A^{'}}$ , suy ra $\hat{A H A^{'}} = 45 °$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, có

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ - 2.AB.AC.cos $\hat{B A C}$ = 4a²+9a²-2.2a.3a.cos60^o = 7a².

$\Rightarrow$ BC = a $\sqrt{7}$ .

Vì $S_{A B C} = \frac{A H \cdot B C}{2}$ $\Rightarrow A H = \frac{S_{A B C} \cdot 2}{B C}$ $= \frac{A B \cdot A C \cdot \sin \hat{B A C}}{B C}$

$= \frac{2 a . 3 a . \sin 60^{o}}{a \sqrt{7}}$ = $\frac{3 \sqrt{21}}{7} a$ .

Xét tam giác AHK vuông tại K, có AK = AH . sin45° = $\frac{3 \sqrt{21} a}{7} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{42} a}{14}$ .

Vậy d(A, (A'BC)) = $\frac{3 \sqrt{42} a}{14}$ .

b) Vì tam giác A'AH vuông tại A, $\hat{A H A^{'}} = 45 °$ nên tam giác A'AH vuông cân tại A nên AA' = AH = $\frac{3 \sqrt{21}}{7} a$ .

Ta có: $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} \cdot$ AA' = $\frac{1}{2}$ .AB.AC.sin $\hat{B A C}$ .AA'

= $\frac{1}{2}$ .2a.3a.sin60^o. $\frac{3 \sqrt{21} a}{7}$ = $\frac{27 \sqrt{7} a^{3}}{14}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác