Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a

Trang trước Trang sau

Bài 7.53 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA = $\frac{a \sqrt{5}}{2}$ . Gọi SM, SN lần lượt là đường cao của tam giác SAD và tam giác SBC.

a) Chứng minh rằng (SMN) $⊥$ (ABCD).

b) Tính số đo của góc nhị diện [S, AD, B].

c) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD.

Vì SM là đường cao của tam giác SAD nên AD $⊥$ SM.

Do ABCD là hình vuông nên AD // BC do đó BC $⊥$ SM, mà BC $⊥$ SN (do SN là đường cao của tam giác SBC) nên BC $⊥$ (SMN).

Lại có BC $\subset$ (ABCD) nên (SMN) $⊥$ (ABCD).

b) Vì các tam giác SAD, SBC là các tam giác cân, SM, SN lần lượt là đường cao của tam giác SAD và tam giác SBC nên M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.

Vì MN đi qua O nên OM $⊥$ AD mà SM $⊥$ AD nên [S, AD, B] = $\hat{S M O}$ .

ABCD là hình vuông cạnh a nên MN = a, OM = ON = $\frac{a}{2}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Mà O là trung điểm của AC nên OA = $\frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO $⊥$ (ABCD).

Xét tam giác SAO vuông tại O, có SO = $\sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{\frac{5 a^{2}}{4} - \frac{2 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác SOM vuông tại O, SM = $\sqrt{S O^{2} + O M^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{4}} = a$ .

Tương tự, SN = a. Suy ra SM = SN = MN = a.

Do đó tam giác SMN là tam giác đều. Suy ra $\hat{S M N}$ = 60^o.

Vậy góc nhị diện [S, AD, B] bằng 60°.

c) $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác