Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)

Trang trước Trang sau

Bài 7.45 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng

A. $\frac{2}{3}$ .

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

D. $\frac{1}{3}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)

Gọi M là trung điểm của CD.

Do tam giác ACD và BCD là tam giác đều nên AM $⊥$ CD và BM $⊥$ CD.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AM và BM, mà (AM,BM) = $\hat{A M B}$ .

Vì tam giác ACD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a nên AM = BM = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABM có:

$c o s \hat{A M B} = \frac{A M^{2} + B M^{2} - A B^{2}}{2 \cdot A M \cdot B M}$ $= \frac{\frac{3 a^{2}}{4} + \frac{3 a^{2}}{4} - a^{2}}{2 \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}}$ $= \frac{\frac{a^{2}}{2}}{\frac{3 a^{2}}{2}}$ $= \frac{1}{3}$ .

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng $\frac{1}{3}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác