Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un)

Trang trước Trang sau

Bài 29 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Giả sử u_n là số hạng thứ n của dãy số (u_n) và $u_{n} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}}{2^{n} \sqrt{5}}$ .

a) Chứng tỏ rằng u₁ = 1, u₂ = 1 và u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n với mọi n $\in$ ℕ^*. Từ đó suy ra (u_n) là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ đầu tiên.

Tính $\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ .

Lời giải:

a) Ta có a^{n + 2} – b^{n + 2} = a^{n + 1}.a − b^{n + 1}.b

= a^{n + 1}.a + a^{n + 1}.b − b^{n + 1}.b − b^{n + 1}.a − a^{n + 1}.b + b^{n + 1}.a

= a^{n + 1}.(a + b) − b^{n + 1}.(a + b) – ab(aⁿ − bⁿ)

= (a^{n + 1} − b^{n + 1}).(a + b) – ab(aⁿ − bⁿ) (*)

Có $u_{1} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{1} - {(1 - \sqrt{5})}^{1}}{2^{1} \sqrt{5}}$ $= \frac{2 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}} = 1$ .

$u_{2} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2} - {(1 - \sqrt{5})}^{2}}{2^{2} \sqrt{5}}$ $= \frac{4 \sqrt{5}}{4 \sqrt{5}} = 1$ .

Áp dụng (*), ta có:

$u_{n + 2} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 2} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 2}}{2^{n + 2} \sqrt{5}}$

Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un)

$= \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 1} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 1}}{2^{n + 1} \sqrt{5}} + \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}}{2^{n} \sqrt{5}}$ = u_n+1 + u_n.

Vậy u_{n + 2} = u_n+1 + u_n. Do đó (u_n) là dãy Fibonacci.

b) Ta có bảng sau

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
u_n	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$	1	2	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	$\frac{8}{5}$	$\frac{13}{8}$	$\frac{21}{13}$	$\frac{34}{21}$	$\frac{55}{34}$	$\frac{89}{55}$

Ta có $\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 1} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 1}}{2^{n + 1} \sqrt{5}}}{\frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}}{2^{n} \sqrt{5}}}$

Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un)

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác