Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA'B'C' là hình tứ diện đều

Trang trước Trang sau

Bài 22 trang 69 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA'B'C' là hình tứ diện đều cạnh bằng a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$ .

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$ .

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA'B'C' là hình tứ diện đều

Gọi O là tâm của tam giác A'B'C'.

Do AA'B'C' là hình tứ diện đều nên O là trọng tâm đồng thời là trực tâm của tam giác A'B'C' và AO $⊥$ (A'B'C').

Gọi A'O $\cap$ B'C' = H, suy ra A'H $⊥$ B'C'.

Xét tam giác A'B'C' đều cạnh a, A'H là đường cao nên A'H = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ , $S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Vì A'O = $\frac{2}{3}$ A'H nên A'O = $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Vì AO $⊥$ (A'B'C') nên AO $⊥$ A'O hay tam giác AA'O vuông tại O.

Xét tam giác AA'O vuông tại O, có AO = $\sqrt{2 - A^{'} O^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Khi đó $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A^{'} B^{'} C^{'}} \cdot A O = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$ .

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác