Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng?

Trang trước Trang sau

Câu 3 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. $u_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ .

B. $u_{n} = \frac{1}{n}$ .

C. $u_{n} = \frac{n + 5}{3 n + 1}$ .

D. $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ có $u_{n + 1} = \frac{1}{2^{n + 1}}$ , suy ra $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{1}{2^{n + 1}} : \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2} < 1$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{n}$ có $u_{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$ , suy ra $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{1}{n + 1} : \frac{1}{n} = \frac{n}{n + 1} < 1, \forall n \in ℕ * .$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{n + 5}{3 n + 1}$ có $u_{n + 1} = \frac{n + 1 + 5}{3 (n + 1) + 1} = \frac{n + 6}{3 n + 4}$

Suy ra $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 6}{3 n + 4} - \frac{n + 5}{3 n + 1} = \frac{(n + 6) (3 n + 1) - (3 n + 4) (n + 5)}{(3 n + 4) (3 n + 1)}$

$= \frac{3 n^{2} + 19 n + 6 - (3 n^{2} + 19 n + 20)}{(3 n + 4) (3 n + 1)}$ = $\frac{- 14}{(3 n + 4) (3 n + 1)} < 0, \forall n \in ℕ * .$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ có $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 1}{(n + 1) + 1} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$

Suy ra $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2} - \frac{2 n - 1}{n + 1} = \frac{(2 n + 1) (n + 1) - (2 n - 1) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{2 n^{2} + 3 n + 1 - (2 n^{2} + 3 n - 2)}{(n + 1) (n + 2)}$ = $\frac{3}{(n + 1) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ * .$

Do đó u_n+1 > u_n nên dãy số này tăng.

Vậy $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ là dãy số tăng.

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác