Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết

Bài 1 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết

a) $u_{n} = \frac{2 n + 9}{n + 3};$

b) $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{2024 + n}};$

c) $u_{n} = \frac{n!}{2^{n}} .$

Lời giải:

a) Ta có:

⦁ $u_{n} = \frac{2 n + 9}{n + 3} = 2 + \frac{3}{n + 3}$ , suy ra 2 < u_n < 3, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn.

⦁ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ = $\frac{\frac{1}{\sqrt{2024 + n + 1}}}{\frac{1}{\sqrt{2024 + n}}}$ = $\frac{\sqrt{2024 + n}}{\sqrt{2025 + n}} < 1$ , suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số giảm.

Do đó, (u_n) là dãy số giảm và bị chặn.

b) Ta có:

⦁ $0 < \frac{1}{\sqrt{2024 + n}} < 1, \forall n \in ℕ^{*}$ suy ra 0 < u_n < 1, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn.

⦁ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2024 + n + 1}}}{\frac{1}{\sqrt{2024 + n}}} = \frac{\sqrt{2024 + n}}{\sqrt{2025 + n}} < 1,$ suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số giảm.

Do đó, (u_n) là dãy số giảm và bị chặn.

c) Ta có

⦁ $u_{n} = \frac{n!}{2^{n}} > 0,$ ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

⦁ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{(n + 1)! 2^{n}}{n! 2^{n + 1}} = \frac{n + 1}{2} \geq 1,$ ∀n ∈ ℕ^* suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số tăng.

Do đó, (u_n) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác