Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau trang 34 SBT Toán 11 Tập 1

Bài 3 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $\sin^{2} (x + \frac{π}{8}) - \sin^{2} (x - \frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 x;$

b) sin²y + 2cosxcosycos(x ‒ y) = cos²x + cos²(x ‒ y).

Lời giải:

a) ${sin}^{2} (x + \frac{π}{8}) - {sin}^{2} (x - \frac{π}{8})$

$= [sin (x + \frac{π}{8}) + sin (x - \frac{π}{8})] [sin (x + \frac{π}{8}) - sin (x - \frac{π}{8})]$

$= (2 sin x cos \frac{π}{8}) (2 cos x sin \frac{π}{8}) = (2 sin x cos x) (2 cos \frac{π}{8} sin \frac{π}{8})$

$= sin 2 x sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} sin 2 x$

b) sin²y + 2cosxcosycos(x ‒ y) = cos²x + cos²(x ‒ y).

⇔ 2cosxcosycos(x ‒ y) ‒ cos²(x ‒ y) = cos²x ‒ sin²y

Ta có:

VT = 2cosxcosycos(x ‒ y) ‒ cos²(x ‒ y)

= cos(x – y)[2cosxcosy – cos(x – y)]

= cos(x – y)[2cosxcosy – (cosxcosy + sinxsiny)]

= cos(x – y)(cosxcosy – sinxsiny)

$= cos (x - y) cos (x + y) = \frac{1}{2} (cos 2 y + cos 2 x)$

$= \frac{1}{2} (1 - 2 {sin}^{2} y + 2 {cos}^{2} x - 1) = {cos}^{2} x - {sin}^{2} y = V P .$

Vậy sin²y + 2cosxcosycos(x ‒ y) = cos²x + cos²(x ‒ y).

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác