Cho dãy số (un), biết u1 = – 2 trang 57 SBT Toán 11

Trang trước Trang sau

Bài 57 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n), biết u₁ = – 2, $u_{n + 1} = \frac{n + 1}{2 n} u_{n}$ với n ∈ ℕ^*. Đặt $v_{n} = \frac{u_{n}}{n}$ với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức của u_n tính theo n.

Lời giải:

a) Ta có $v_{1} = \frac{u_{1}}{1} = \frac{- 2}{1} = - 2$ ;

$v_{n + 1} = \frac{u_{n + 1}}{n + 1} = (\frac{n + 1}{2 n} u_{n}) : (n + 1) = \frac{1}{2} . \frac{u_{n}}{n} = \frac{1}{2} v_{n}$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu v₁ = – 2 và công bội $q = \frac{1}{2}$ .

b) Từ kết quả của câu a) suy ra $v_{n} = v_{1} . q^{n - 1} = (- 2) . {(\frac{1}{2})}^{n - 1} = - {(\frac{1}{2})}^{n - 2}$ .

Từ $v_{n} = \frac{u_{n}}{n}$ , suy ra $u_{n} = n . v_{n} = - n . {(\frac{1}{2})}^{n - 2}$ với mọi n ≥ 2.

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác