Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C

Bài 29 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C (với điều kiện tam giác ABC không vuông);

b) $\tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} . \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} . \tan \frac{A}{2} = 1$ .

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC không vuông nên A, B, C khác $\frac{π}{2}$ , do đó tan A, tan B, tan C xác định.

Do A + B + C = π nên A + B = π – C, do đó tan(A + B) = tan(π – C) = tan(– C) = – tanC.

Mà $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ .

Khi đó $\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = - \tan C$

⇔ tan A + tan B = – tan C . (1 – tan A . tan B)

⇔ tan A + tan B = – tan C + tan A . tan B . tan C

⇔ tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C.

b) Ta có $\frac{A + B + C}{2} = \frac{π}{2}$ , suy ra $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{π}{2} - \frac{C}{2}$ nên $\tan (\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \cot \frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$

$\Leftrightarrow (\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}) \tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2}$

$\Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2} . \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2} = 1$

$\Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} . \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} . \tan \frac{A}{2} = 1$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác