Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm K thoả mãn $\vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = \vec{0} .$

b) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn

Lời giải:

Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Gọi I là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC.

Khi đó $\vec{K A} + \vec{K C} = 2 \vec{K I}$ và $\vec{K B} + \vec{K C} = 2 \vec{K H}$

$\Rightarrow \vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = (\vec{K A} + \vec{K C}) + 2 (\vec{K B} + \vec{K C})$

$= 2 \vec{K I} + 2.2 \vec{K H}$ $= 2 \vec{K I} + 4 \vec{K H}$

Mà $\vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = \vec{0} .$

Nên $2 \vec{K I} + 4 \vec{K H} = \vec{0}$

$\Rightarrow 2 \vec{K I} = - 4 \vec{K H}$

$\Rightarrow \vec{K I} = - 2 \vec{K H}$

Do đó điểm K nằm giữa hai điểm I và H sao cho KI = 2KH.

Vậy ta có điểm K thỏa mãn $\vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = \vec{0}$ như hình vẽ.

Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Chứng minh tương tự câu a ta có:

$\vec{M A} + \vec{2 M B} + 3 \vec{M C} = 2 \vec{M I} + 4 \vec{M H}$

$= 2 (\vec{M K} + \vec{K I}) + 4 (\vec{M K} + \vec{K H})$

$= 2 \vec{M K} + 2 \vec{K I} + 4 \vec{M K} + 4 \vec{K H}$

$= 6 \vec{M K} + (2 \vec{K I} + 4 \vec{K H})$

Mà $2 \vec{K I} + 4 \vec{K H} = \vec{0}$ (câu a)

Nên $\vec{M A} + \vec{2 M B} + 3 \vec{M C} = 6 \vec{M K}$

Lại có: $\vec{M B} - \vec{M C} = \vec{C B}$

Bài 4.20 trang 55 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

$\Leftrightarrow$ 6MK = CB

$\Leftrightarrow K M = \frac{B C}{6}$

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm K, bán kính bằng $\frac{B C}{6}$ như hình vẽ.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác