Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác

Trang trước Trang sau

Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O} .$

Lời giải:

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên $\hat{A B C} = \hat{A C B} = 60 °$

Mà PQ // AB nên $\hat{M Q K} = \hat{A B C} = 60 °,$

HK // AC nên $\hat{M K Q} = \hat{A C B} = 60 °$

Tam giác MQK có: $\hat{M Q K} = \hat{M K Q} = 60 °$ nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

$\Rightarrow \vec{M Q} + \vec{M K} = 2 \vec{M D}$ (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) $\vec{M H} + \vec{M I} = 2 \vec{M F}$ (2)

+) $\vec{M P} + \vec{M J} = 2 \vec{M E}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\vec{M Q} + \vec{M K} + \vec{M H} + \vec{M I} + \vec{M P} + \vec{M J} = 2 \vec{M D} + 2 \vec{M F} + 2 \vec{M E}$

$\Rightarrow 2 (\vec{M D} + \vec{M F} + \vec{M E}) = (\vec{M Q} + \vec{M I}) + (\vec{M K} + \vec{M J}) + (\vec{M H} + \vec{M P})$

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{M I} + \vec{M Q} = \vec{M B}$

Tương tự ta có $\vec{M K} + \vec{M J} = \vec{M C}; \vec{M H} + \vec{M P} = \vec{M A}$

Khi đó $2 (\vec{M D} + \vec{M F} + \vec{M E}) = \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M A}$

$\Rightarrow \vec{M D} + \vec{M F} + \vec{M E} = \frac{1}{2} (\vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M A})$

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M A} = 3 \vec{M O}$

$\Rightarrow \vec{M D} + \vec{M F} + \vec{M E} = \frac{1}{2} .3 \vec{M O} = \frac{3}{2} \vec{M O} .$

Vậy $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O} .$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác