Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

Bài 4.14 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau $\vec{O A} - \vec{O B},$ $\vec{O A} - \vec{O B},$ $\vec{O A} + 2 \vec{O B},$ $2 \vec{O A} - 3 \vec{O B} .$

Lời giải:

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

$\Rightarrow$ OC = AB

Mà AB² = OA² + OB²(định lí Pythagoras)

$\Rightarrow$ AB² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow O C = A B = a \sqrt{2}$

+) Có: $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ (quy tắc hình bình hành)

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

+) Có: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{B O} = \vec{B O} + \vec{O A} = \vec{B A}$

+) Lấy điểm D sao cho $\vec{O D} = 2 \vec{O B}$ nên hai vectơ $\vec{O D}$ , $\vec{O B}$ cùng hướng và OD = 2OB.

Có: $\vec{O A} + 2 \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{O D}$

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó $\vec{O A} + \vec{O D} = \vec{O E}$

Mà OE² = OD² + DE² (định lí Pythagoras)

$\Rightarrow$ OE² = (2OB)² + OA²

$\Rightarrow$ OE² = (2a)² + a² = 5a²

$\Rightarrow O E = a \sqrt{5}$

+) Lấy điểm G sao cho $\vec{O G} = 2 \vec{O A}, \vec{O H} = 3 \vec{O B}$

Khi đó: hai vectơ $\vec{O G}$ , $\vec{O A}$ cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ $\vec{O H}$ , $\vec{O B}$ cùng hướng và OH = 3OB.

Có: $2 \vec{O A} - 3 \vec{O B} = \vec{O G} - \vec{O H}$

$= \vec{O G} + \vec{H O}$ $= \vec{H O} + \vec{O G}$

$= \vec{H G}$

Mà HG² = OG² + OH² (định lí Pythagoras)

$\Rightarrow$ HG² = (2OA)² + (3OB)²

$\Rightarrow$ HG² = (2a)² + (3a)²

$\Rightarrow$ HG² = 13a²

^{$\Rightarrow H G = a \sqrt{13}$}

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác