Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai

Trang trước Trang sau

Bài 8 trang 10 SBT Toán 10 Tập 2: Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai $f (x) {=ax}^{2} + b x + c$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số đi qua ba điểm có toạ độ là (– 1; – 4), (0; 3) và (1; –14);

b) Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua ba điểm có toa độ là (0; –2), (2; 6) và (3; 13);

c)f(– 5) = 33, f (0) = 3 và f(2) = l9.

Lời giải:

a) Theo đề bài:

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm có toạ độ là (– 1; – 4) nên –4 = a – b + c (1)

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm có toạ độ là(0; 3) nên 3 = c (2)

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm có toạ độ là(1; – 14) nên –14 = a + b + c (3)

Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có:

$(\begin{matrix} a - b = - 7 \\ a + b = - 17 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} 2 a = - 24 \\ a + b = - 17 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} a = - 12 \\ - 12 + b = - 17 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} a = - 12 \\ b = - 5 \end{matrix})$

Vậy f (x) = –12x² – 5x + 3.

Xét f ( x ) = –12x² – 5x + 3 có ∆ = (– 5)² – 4.(–12).3 = 169 > 0 nên f (x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

x₁ = $\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{- 12.2}$ = – $\frac{3}{4}$ .

x₂ = $\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{- 12.2}$ = $\frac{1}{3}$ .

Như vậy, f (x) có a = –12 < 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x₁ = – $\frac{3}{4}$ , x₂ = $\frac{1}{3}$ nên:

f (x) dương trong khoảng ( – $\frac{3}{4}$ ; $\frac{1}{3}$ ).

f (x) âm trong khoảng (– $\infty$ ; – $\frac{3}{4}$ ) và ( $\frac{1}{3}$ ; + $\infty$ ).

b) Ta có:

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm có toạ độ là (0; – 2) nên –2 = c (1)

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua ba điểm có toạ độ là(2; 6) nên 6 = 4a + 2b + c (2)

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua ba điểm có toạ độ là(3; 13) nên 13 = 9a + 3b + c (3).

Thay (1) vào phương trình (2) và (3) ta có:

$(\begin{matrix} 4a + 2 b = 8 \\ 9a + 3 b = 15 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} 2a + b = 4 \\ 3a + b = 5 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} a = 1 \\ 3.1 + b = 5 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \end{matrix})$

Do đó f (x) = x² + 2x – 2.

Xét f ( x ) = x² + 2x – 2 có ∆ = 2² – 4.( –2 ).1 = 12 nên f ( x ) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

x₁ = $\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ = $\frac{- 2 + \sqrt{12}}{2}$ = –1 + $\sqrt{3}$ .

x₂ = $\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ = $\frac{- 2 - \sqrt{12}}{2}$ = –1 – $\sqrt{3}$ .

Như vậy, f (x) có a = 1 > 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x₁ = –1 + $\sqrt{3}$ , x₂ = –1 – $\sqrt{3}$ nên:

f (x) âm trong khoảng ( –1 – $\sqrt{3}$ ; –1 + $\sqrt{3}$ ).

f (x) dương trong khoảng (– $\infty$ ; –1 – $\sqrt{3}$ ) và ( –1 + $\sqrt{3}$ ; + $\infty$ ).

c) Ta có:

f(– 5) = 33 nên 33 = 25a – 5b + c (1)

f (0) = 3 nên 3 = c (2)

f(2) = 19 nên 19 = 4a + 2b + c (3)

Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có $(\begin{matrix} 25 a - 5 b = 30 \\ 4a + 2 b = 16 \end{matrix})$ . Giải hệ phương trình ta được a = 2 và b = 4.

Vậy f (x) = 2x² + 4x +3.

Xét f (x) = 2x² + 4x +3 có ∆ = 4² – 4.2.3 = –8 < 0, a = 2 > 0 nên f (x) dương với mọi x ∈ ℝ.

Lời giải SBT Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác