Giải Toán 8 VNEN Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

1. (Trang 15 Toán 8 VNEN Tập 1)

a) Với a, b là hai số tùy ý, hãy tính: (a + b)(a² - ab + b²). So sánh kết quả vừa tính được với a³ + b³.

Lời giải:

Có: (a + b)(a² - ab + b²) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³.

Như vậy, (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³.

b) Thực hiện theo các yêu cầu:

- Viết 8x³ + 27 dưới dạng tích.

- Viết (x + 3)(x² - 3x + 9) dưới dạng tổng.

Lời giải:

- Có: 8x³ + 27 = (2x)³ + 3³ = (2x + 3)[(2x)² - 2x.3 + 3²] = (2x + 3)(4x² - 6x + 9).

- Có: (x + 3)(x² - 3x + 9) = (x + 3)(x² - 3x + 32) = x³ + 3³ = x³ + 27.

2. (Trang 16 Toán 8 VNEN Tập 1)

a) Với a, b là hai số tùy ý, hãy tính: (a - b)(a² + ab + b²). So sánh kết quả vừa tính được với a³ – b³.

Trả lời:

Có: (a - b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³.

Như vậy, (a - b)(a² + ab + b²). = a³ – b³.

b) Thực hiện các yêu cầu sau:

- Viết 8x³ - 27y³ dưới dạng tích.

- Hãy đánh dấu x vào ô trống có đáp số đúng của tích: (2 - x)(4 + 2x + x²).

Lời giải:

- Có: 8x³ - 27y³ = (2x)³ - (3y)³ = (2x - 3y)[(2x)² + 2x.3y + (3y)²] = (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²).

1 (Trang 16 Toán 8 VNEN Tập 1)

a) Viết lại bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

b) Hãy phát biểu bằng lời các hằng đẳng thức: Tổng hai lập phương, hiệu hai lập phương.

Lời giải:

a) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

(1) Bình phương của một tổng: (A + B)² = A² + 2AB + B².

(2) Bình phương của một hiệu: (A - B)² = A² - 2AB + B².

(3) Hiệu hai bình phương: A² – B² = (A + B)(A - B).

(4) Lập phương của một tổng: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

(5) Lập phương của một hiệu: (A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² – B³.

(6) Tổng hai lập phương: A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²).

(7) Hiệu hai lập phương: A³ – B³ = (A - B)(A² + AB + B²).

b) - Tổng các lập phương bằng tích của tổng hai số và bình phương thiếu của một hiệu.

- Hiệu các lập phương bằng tích của hiệu hai số và bình phương thiếu của một tổng.

2 (Trang 16 Toán 8 VNEN Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x - 3)(x² + 3x + 9) - (54 + x³);

b) (3x + y)(9x² - 3xy + y²) - (3x - y)(9x² + 3xy + y²).

Lời giải:

a) (x - 3)(x² + 3x + 9) - (54 + x³) = x³ - 33 - (54 + x³) = x³ - 27 - 54 – x³ = -81;

b) (3x + y)(9x² - 3xy + y²) - (3x - y)(9x² + 3xy + y²) = 9x³ + y³ - (9x³ – y³) = 2y³.

3 (Trang 16 Toán 8 VNEN Tập 1)

Chứng minh rằng:

a) a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b);

b) a³ – b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b).

Áp dụng: Tính a³ + b³ biết ab = 12 và a + b = -7.

Lời giải:

a) a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b);

Ta có:

VP = (a + b)³ - 3ab(a + b) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ - 3a²b - 3ab² = a³ + b³ = VT (đpcm).

b) a³ – b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b).

Ta có:

VP = (a - b)³ + 3ab(a - b) = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ + 3a²b - 3ab² = a³ - b³ = VT (đpcm).

Áp dụng: Tính a³ – b³ biết ab = 12 và a + b = -7.

Có: a³ – b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) = (-7)³ - 3.12(-7) = -91.

4 (Trang 17 Toán 8 VNEN Tập 1)

Điền các đơn thức thích hợp vào chỗ trống:

a) (x + 3y)(...... - ...... + ......) = x³ + 27y³;

b) (2x - ......)(...... + 6xy +......) = 8x³ - 27y³.

Lời giải:

a) (x + 3y)(...x²... - ...3xy... + ...9y²...) = x³ + 27y³;

b) (2x - ...3y...)(...4x²... + 6xy +...9y²...) = 8x³ - 27y³.

5 (Trang 17 Toán 8 VNEN Tập 1)

Tính nhanh kết quả của các biểu thức sau:

a) A = 53² + 106.46 + 47²;

b) B = 5⁴.3⁴ - (15² - 1)(15² + 1);

c) C = 50² – 49² + 48² – 47² + ... + 2² – 1².

Lời giải:

a) A = 53² + 106.46 + 47² = 53² + 2.53.47 + 47² = (53 + 47)² = 100² = 10000;

b) B = 5⁴.3⁴ - (15² - 1)(15² + 1) = (15)⁴ - (15⁴ - 1) = 15⁴ – 15⁴ + 1 = 1;

c) C = 50² – 49² + 48² – 47² + ... + 2² – 1²

= (50 - 49)(50 + 49) + (48 - 47)(48 + 47) + ... + (2 - 1)(2 + 1)

= 50 + 49 + 48 + 47 + ... + 2 + 1 = (50 + 1).50 : 2 = 1275.

1. (Trang 17 Toán 8 VNEN Tập 1)

Trong hai số sau, số nào lớn hơn?

a) A = 2015.2017 và B = 2016².

b) C = (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) và D = 23².

Lời giải:

a) Ta có:

A = 2015.2017 = (2016 - 1)(2016 + 1) = 2016² - 1 < 2016² = B.

Vì vậy A < B.

b) Ta có:

C = (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

= (2 - 1)(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

= (2² - 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

= (2⁴ - 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

= (2⁸ - 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

= (2¹⁶ - 1)(2¹⁶ + 1) = 23² - 1 < 23² = D.

Vì vậy C < D.

2. (Trang 17 Toán 8 VNEN Tập 1)

Cho x - y = 11. Tính giá trị biểu thức:

M = x³ - 3xy(x - y) – y³ – x² + 2xy – y².

Lời giải:

M = x³ - 3xy(x - y) – y³ – x² + 2xy – y²

= x³ - 3x²y + 3xy² – y³ - (x² - 2xy + y²)

= (x - y)³ - (x - y)².

Thay x - y = 11, ta được: M = 11² – 11² = 1210.

3. (Trang 17 Toán 8 VNEN Tập 1)

Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến:

a) -9x² + 12x - 17;

b) -11 - (x - 1)(x + 2).

Lời giải:

a) -9x² + 12x - 17 = -(9x² - 12x + 4) - 13= -[(3x)² - 2.3x.2 + 2²] - 13= -(3x - 2)² - 13 < 0 với mọi giá trị của biến.

Xem thêm các bài Giải bài tập Toán lớp 8 chương trình VNEN hay khác:

• Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức
• Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử và phối hợp nhiều phương pháp
• Bài 8: Chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức
• Bài 9: Chia đa thức một biến đã sắp xếp
• Bài 10: Ôn tập chương I