Khám phá trang 15 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Khám phá trang 15 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn sản xuất những chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình vuông và thể tích chứa là 500 dm³ (Hình 1). Biết rằng chiều cao của thùng trong khoảng từ 3 dm đến 10 dm.

a) Nếu gọi độ dài cạnh đáy của thùng là x (dm), chiều cao của thùng là h (dm) thì tổng diện tích các mặt của thùng, kí hiệu S, có thể được biểu thị bằng biểu thức nào?

b) Có thể biểu thị tổng diện tích S theo x không? Biến x nhận giá trị trong miền nào?

c) Với giá trị nào của x thì S có giá trị nhỏ nhất?

Lời giải:

a) Tổng diện tích các mặt của thùng là S = 4xh + x² (dm²).

b) Thể tích của thùng là V = x²h = 500 (dm³).

Suy ra $h = \frac{500}{x^{2}}$ (dm).

Vì 3 ≤ h ≤ 10 nên $3 \leq \frac{500}{x^{2}} \leq 10$ , suy ra $5 \sqrt{2} \leq x \leq \frac{10 \sqrt{15}}{3}$

Khi đó, tổng diện tích các mặt của thùng là

S(x) = $\frac{2000}{x} + x^{2}$ (dm²) với $x \in [5 \sqrt{2}; \frac{10 \sqrt{15}}{3}]$ .

c) Xét hàm số S(x) = $\frac{2000}{x} + x^{2}$ (dm²) với $x \in [5 \sqrt{2}; \frac{10 \sqrt{15}}{3}]$

Ta có S'(x) = $\frac{- 2000}{x^{2}} + 2 x$ ;

Trên khoảng $(5 \sqrt{2}; \frac{10 \sqrt{15}}{3})$ , S'(x) = 0 ⇔ x = 10.

Có $S (5 \sqrt{2}) = 200 \sqrt{2} + 50$ ; S(10) = 300; $S (\frac{10 \sqrt{15}}{3}) = 40 \sqrt{15} + \frac{500}{3}$ .

Do đó, $\min_{[5 \sqrt{2}; \frac{10 \sqrt{15}}{3}]} S (x) = 300$ tại x = 10.

Vậy với x = 10 dm thì S có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học