Bài 4 trang 21 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Bài 4 trang 21 Chuyên đề Toán 12: Một giếng dầu ngoài khơi được đặt ở vị trí A cách bờ biển 3 km, B là vị trí trên bờ biển gần giếng dầu nhất. Nhà máy lọc dầu được đặt ở vị trí C trên bờ biển, cách vị trí B một khoảng 4 km (Hình 9). Người ta dự định lắp đặt đường ống dẫn dầu gồm hai đoạn thẳng AD và DC (D là một vị trí nằm giữa B và C). Biết rằng mỗi mét đường ống đặt dưới biển có chi phí lắp đặt cao gấp đôi so với mỗi mét đường ống đặt trên bờ. Vị trí của D như thế nào để giảm thiểu chi phí lắp đặt nhất?

Lời giải:

Đặt BD = x (km, 0 ≤ x ≤ 4).

Ta có DC = 4 – x (km).

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ABD, ta có:

AD = $\sqrt{x^{2} + 3^{2}} = \sqrt{x^{2} + 9}$ (km).

Giả sử chi phí lắp đặt mỗi mét đường ống dẫn dầu trên bờ là a (đồng, a > 0).

Khi đó chi phí lắp đặt mỗi mét đường ống dẫn dầu đặt dưới biển là 2a (đồng).

Tổng chi phí lắp đặt đường ống là

C = 2a $\sqrt{x^{2} + 9}$ + a(4 – x) = 2a $\sqrt{x^{2} + 9}$ + 4a – ax (đồng).

Xét hàm số f(x) = 2a $\sqrt{x^{2} + 9}$ + 4a – ax với x ∈ [0; 4] và a > 0.

Ta có f'(x) = $\frac{2 a x}{\sqrt{x^{2} + 9}} - a$ ;

f'(x) = 0 $\Leftrightarrow \frac{2 a x}{\sqrt{x^{2} + 9}} - a = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 9} = 2 x$

⇔ x² + 9 = 4x² ⇔ 3x² = 9 ⇔ x² = 3 ⇔ x = $\sqrt{3}$ ∈ [0; 4].

Ta có f(0) = 10a; $f (\sqrt{3}) = (3 \sqrt{3} + 4) a$ ; f(4) = 10a.

Do đó, $\min_{[0; 4]} f (x) = f (\sqrt{3}) = (3 \sqrt{3} + 4) a$ (do a > 0) tại x = $\sqrt{3}$ .

Vậy cần đặt vị trí D nằm giữa B và C sao cho D cách B một khoảng bằng $\sqrt{3}$ km để giảm thiểu chi phí lắp đặt nhất.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học