Bài 3 trang 20 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Bài 3 trang 20 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn thiết kế một lồng nuôi cá có bề mặt hình chữ nhật bao gồm phần mặt nước có diện tích bằng 54 m² và phần đường đi xung quanh với kích thước (đơn vị: m) như Hình 8. Bề mặt của lồng có chiều dài và chiều rộng bằng bao nhiêu để diện tích phần đường đi là bé nhất?

Lời giải:

Từ hình vẽ, ta tính được kích thước hình chữ nhật phần mặt nước là a – 3 (m) và b – 2 (m). Từ đó suy ra a > 3 và b > 2.

Diện tích phần mặt nước là S₁ = (a – 3)(b – 2) = 54 (m²)

Suy ra $b = \frac{54}{a - 3} + 2$ (m).

Diện tích phần đường đi là S = ab – 54 = $a \cdot (\frac{54}{a - 3} + 2) - 54 = \frac{54 a}{a - 3} + 2 a - 54$ (m²).

Xét hàm số $S (a) = \frac{54 a}{a - 3} + 2 a - 54$ với a ∈ (3; + ∞).

Ta có $S^{'} (a) = 2 - \frac{162}{{(a - 3)}^{2}}$ ;

S'(a) = 0 $\Leftrightarrow 2 - \frac{162}{{(a - 3)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow {(a - 3)}^{2} = 81 \Leftrightarrow a = 12 \in (3; + \infty)$ .

Bảng biến thiên:

Bài 3 trang 20 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Từ bảng biến thiên, ta có $\min_{(3; + \infty)} S (a) = 42$ , đạt được khi a = 12.

Với a = 12 thì ta có $b = \frac{54}{12 - 3} + 2 = 8$ .

Vậy bề mặt của lồng có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 12 m và 8 m thì diện tích phần đường đi là bé nhất.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học