Vận dụng trang 8 Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo

Vận dụng trang 8 Chuyên đề Toán 11: Một người đã vẽ xong bức tranh một con thiên nga đang bơi trên mặt hồ (đường thẳng d) (Hình 7a). Người đó muốn vẽ bóng của con thiên nga đó xuống mặt nước (như Hình 7b) bằng cách gấp tờ giấy theo đường thẳng d và đồ theo hình con thiên nga trên nửa tờ giấy còn lại. Chứng tỏ rằng đây là một phép dời hình.

Lời giải:

Ta đặt f là phép biến hình biến con thiên nga trong bức tranh thành bóng của con thiên nga đó qua đường thẳng d (mặt hồ).

Chọn M’ = f(M) hay M’ là điểm đối xứng của M qua d.

Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

Gọi H là giao điểm của MM’ và d.

Khi đó H là trung điểm của MM’ và MM’ ⊥ d tại H.

Trên hình 7b, chọn điểm N tùy ý trên con thiên nga đã vẽ trên mặt hồ (như hình vẽ).

Chọn N’ = f(N) hay N’ là điểm đối xứng của N qua d.

Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng NN’.

Gọi K là giao điểm của NN’ và d.

Khi đó K là trung điểm của NN’ và NN’ ⊥ d tại K.

Ta có $\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{MH}}+\overrightarrow{\mathrm{HK}}+\overrightarrow{\mathrm{KN}}\right)+\left(\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}\mathrm{H}}+\overrightarrow{\mathrm{HK}}+\overrightarrow{{\mathrm{KN}}^{\text{'}}}\right)$

$=\left(\overrightarrow{\mathrm{MH}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}\mathrm{H}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{KN}}+\overrightarrow{{\mathrm{KN}}^{\text{'}}}\right)+2\overrightarrow{\mathrm{HK}}$

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{\mathrm{HK}}$ (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

$=2\overrightarrow{\mathrm{HK}}$

Lại có $\overrightarrow{\mathrm{MN}}-\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}=\left(\overrightarrow{\mathrm{HN}}-\overrightarrow{\mathrm{HM}}\right)-\left(\overrightarrow{{\mathrm{HN}}^{\text{'}}}-\overrightarrow{{\mathrm{HM}}^{\text{'}}}\right)$

$=\overrightarrow{\mathrm{HN}}-\overrightarrow{\mathrm{HM}}-\overrightarrow{{\mathrm{HN}}^{\text{'}}}+\overrightarrow{{\mathrm{HM}}^{\text{'}}}$

$=\left(\overrightarrow{\mathrm{HN}}-\overrightarrow{{\mathrm{HN}}^{\text{'}}}\right)+\left(\overrightarrow{{\mathrm{HM}}^{\text{'}}}-\overrightarrow{\mathrm{HM}}\right)=\overrightarrow{{\mathrm{N}}^{\text{'}}\mathrm{N}}+\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}$

Ta có ${\overrightarrow{\mathrm{MN}}}^2-{\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}}^2=\left(\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}\right)\left(\overrightarrow{\mathrm{MN}}-\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}\right)=2\overrightarrow{\mathrm{HK}}\left(\overrightarrow{{\mathrm{N}}^{\text{'}}\mathrm{N}}+\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}\right)$

$=2\overrightarrow{\mathrm{HK}}.\overrightarrow{{\mathrm{N}}^{\text{'}}\mathrm{N}}+2\overrightarrow{\mathrm{HK}}.\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}=2.0+2.0=0$ (do MM’ ⊥ d và NN’ ⊥ d).

Suy ra ${\overrightarrow{\mathrm{MN}}}^2={\overrightarrow{{\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}}}^2$

Do đó MN = M’N’.

Vì vậy phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Lời giải Chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình hay, chi tiết khác:

• Khởi động trang 6 Chuyên đề Toán 11: Bức tranh trang trí trong hình bên trước khi tô màu thực chất được tạo ra từ một hình mũi tên ....

• Khám phá 1 trang 6 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và điểm M. Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M ....

• Thực hành 1 trang 7 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ứng mỗi điểm M(x;y) quy tắc f xác định điểm M' ....

• Khám phá 2 trang 7 Chuyên đề Toán 11: Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M' khoảng cách giữa hai trục bánh xe có thay đổi không ....

• Thực hành 2 trang 8 Chuyên đề Toán 11: Cho điểm O trong mặt phẳng. Ta định nghĩa một phép biến hình h như sau: Với mỗi điểm M khác O chọn M’ = h(M) ....

• Khám phá 3 trang 8 Chuyên đề Toán 11: Trong mỗi trường hợp dưới đây, cho f là một phép dời hình. a) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự (B nằm giữa A và C) ....

• Thực hành 3 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Gọi A’B’C’D’ là ảnh của hình chữ nhật ABCD qua phép biến hình được diễn tả trong Vận dụng ....

• Bài 1 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn (C) và cắt (C) tại A và B. Tìm ảnh của đường tròn (C) ....

• Bài 2 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M ....

• Bài 3 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Cho phép dời hình f biến hình vuông ℋ có cạnh bằng 2 cm thành hình vuông ℋ ’. Tìm diện tích của ℋ ’ ....

• Bài 4 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây: – Phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(–x; –y) ....

• Bài 5 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x; y), trong đó ....

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Chuyên đề Toán 11 Bài 2: Phép tịnh tiến

• Chuyên đề Toán 11 Bài 3: Phép đối xứng trục

• Chuyên đề Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm

• Chuyên đề Toán 11 Bài 5: Phép quay

• Chuyên đề Toán 11 Bài 6: Phép vị tự

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k