Bài 2 trang 10 Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Bài 2 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.

Lời giải:

Bài 2 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)

• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.

Ta có M’ = f(M) và N’ = f(N).

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.

Suy ra $\vec{MH} + \vec{M^{'} H} = \vec{0}; \vec{KN} + \vec{{KN}^{'}} = \vec{0}$

Ta có:

⦁ $\vec{MN} + \vec{M^{'} N^{'}} = (\vec{MH} + \vec{HK} + \vec{KN}) + (\vec{M^{'} H} + \vec{HK} + \vec{{KN}^{'}})$

$= (\vec{MH} + \vec{M^{'} H}) + (\vec{KN} + \vec{{KN}^{'}}) + 2 \vec{HK}$

$= \vec{0} + \vec{0} + 2 \vec{HK}$ (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

$= 2 \vec{HK}$

⦁ $\vec{MN} - \vec{M^{'} N^{'}} = (\vec{HN} - \vec{HM}) - (\vec{{HN}^{'}} - \vec{{HM}^{'}})$

$= \vec{HN} - \vec{HM} - \vec{{HN}^{'}} + \vec{{HM}^{'}}$

$= (\vec{HN} - \vec{{HN}^{'}}) + (\vec{{HM}^{'}} - \vec{HM}) = \vec{N^{'} N} + \vec{{MM}^{'}}$

Khi đó ${\vec{MN}}^{2} - {\vec{M^{'} N^{'}}}^{2} = (\vec{MN} + \vec{M^{'} N^{'}}) (\vec{MN} - \vec{M^{'} N^{'}})$

$= 2 \vec{HK} (\vec{N^{'} N} + \vec{{MM}^{'}})$

$= 2 \vec{HK} . \vec{N^{'} N} + 2 \vec{HK} . \vec{{MM}^{'}} = 2 .0 + 2 .0 = 0$

(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên $\vec{{MM}^{'}} ⊥ \vec{HK}; \vec{{NN}^{'}} ⊥ \vec{HK}$ ).

Suy ra ${\vec{MN}}^{2} = {\vec{M^{'} N^{'}}}^{2}$

Do đó MN = M’N’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy f là một phép dời hình.

Lời giải Chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học