Cho hai elip (E1): x^2/25 + y^2/16 = 1

Trang trước Trang sau

Bài 3.18 trang 60 Chuyên đề Toán 10: Cho hai elip $(E_{1}) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ và $(E_{2}) : \frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ .

a) Tìm mối quan hệ giữa hai tâm sai của các elip đó.

b) Chứng minh rằng với mối điểm M thuộc elip (E₂) thì trung điểm N của đoạn thẳng OM thuộc elip (E₁).

Lời giải:

a) (E₁) có a₁ = 5, b₁ = 4 ⇒ $c_{1} = \sqrt{a_{1}^{2} - b_{1}^{2}} = 3$ ⇒ tâm sai e₁ = $\frac{c_{1}}{a_{1}}$ = $\frac{3}{5}$ .

(E₂) có a₂ = 10, b₂ = 8 ⇒ $c_{2} = \sqrt{a_{2}^{2} - b_{2}^{2}} = 6$ ⇒ tâm sai e₂ = $\frac{c_{2}}{a_{2}}$ = $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$

Vậy e₁ = e₂.

b) Giả sử M có toạ độ là (x; y). Khi đó N có toạ độ là $(\frac{x}{2}; \frac{y}{2}) .$

Vì M thuộc (E₂) nên $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{4.25} + \frac{y^{2}}{4.16} = 1 \Rightarrow {(\frac{x}{2})}^{2} . \frac{1}{25} + {(\frac{y}{2})}^{2} . \frac{1}{16} = 1$

$\Rightarrow \frac{{(\frac{x}{2})}^{2}}{25} + \frac{{(\frac{y}{2})}^{2}}{16} = 1.$

Như vậy toạ độ của N thoả mãn phương trình của (E₁), do đó N thuộc (E₁).

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học