Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn bằng 2, ta có 5^n lớn hơn bằng (3^n+4^n)

Bài 2.22 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5ⁿ ≥ 3ⁿ + 4ⁿ.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 2 ta có 5² = 25 = 3² + 4².

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5^k ≥ 3^k + 4^k.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5^{k + 1} ≥ 3^{k + 1} + 4^{k + 1}.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

5^{k + 1} = 5.5^k ≥ 5(3^k + 4^k) = 5. 3^k + 5.4^k ≥ 3. 3^k + 4.4^k = 3^{k + 1} + 4^{k + 1}.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học