Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có: 2.2^1 + 3.2^2 + 4.2^3 + ... + (n+1).2^n = n.2^(n+1)

Bài 2.19 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (n + 1).2ⁿ = n.2^{n + 1}.

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 2.2¹ = 4 = 1.2^{1 + 1}.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (k + 1).2^k = k.2^{k + 1}.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (k + 1).2^k + [(k + 1) + 1].2^{k + 1} = (k + 1)2^{(k + 1) + 1}.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

2.2¹ + 3.2² + 4.2³ + ... + (k + 1).2^k + [(k + 1) + 1].2^{k + 1}

= k.2^{k + 1} + [(k + 1) + 1].2^{k + 1}

= (2k + 2).2^{k + 1}

= (k + 1).2.2^{k + 1}

= (k + 1)2^{k + 2}

= (k + 1).2^{(k + 1) + 1}.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học