Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau

Bài 1 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F₁(–2; 0);

b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$ ;

c) Tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20.

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 6, suy ra 2a = 6, suy ra a = 3, suy ra a² = 9.

– Elip có một tiêu điểm là F₁(– 2; 0), suy ra c = 2, suy ra b² = a² – c² = 3² – 2² = 5.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1.$

b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6, suy ra c² = 36.

– Elip có tâm sai bằng suy ra

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau (ảnh 1)

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1.$

c) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tâm sai $\frac{\sqrt{5}}{3},$ bằng suy ra

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau (ảnh 1)

– Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20

$\Rightarrow 2 (2 a + 2 b) = 20 \Rightarrow a + b = 5 (2) .$

Thế (1) vào (2) ta được

$\frac{2}{3} a + a = 5 \Rightarrow \frac{5}{3} a = 5 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow b = \frac{2}{3} a = \frac{2}{3} . 3 = 2.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$ hay $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học