15 Bài tập Hệ thức Vi-ét và ứng dụng nâng cao có lời giải - Toán lớp 9

Lời giải:

Ta có: x⁴ – 2mx² – x + m² – m = 0 ⇔  m² – (2x² + 1)m + x⁴ – x = 0

Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn m và có:

∆_m = (2x² + 1)² – 4(x⁴ – x) = 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)² ≥ 0

Do đó f(x) = (m − x² – x – 1)(m − x² + x)

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Ta có: x² – 4x = 2|x – 2| − m – 5 ⇔ (x² – 4x + 4) – 2|x – 2| = −m – 1

⇔ (x – 2)² – 2|x – 2| = −m – 1 (1)

Đặt t = |x −2| ≥ 0. Khi đó (1) thành: t² – 2t + 1 + m = 0    (2)

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là phải có:

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Trước hết phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ khác 0 nên:

Thay vào (*) ta thấy m = −1 không thỏa mãn

Vậy m = 1; m = 5 là giá trị cần tìm

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Vì độ dài cạnh của tam giác vuông là số dương nên x₁; x₂ > 0

Theo định lý Vi-ét ta có  

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

∆ = m² – 4(m² – m – 3) ≥ 0 ⇔ 3m²– 4m – 12 ≤ 0  (2)

Từ giả thiết suy ra x₁² + x₂² = 4 ⇔ (x₁ + x₂)² – 2x₁.x₂ = 4. Do đó

m² – 2(m² – m – 3) = 4 ⇔ m² – 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1    

Thay m = 1 ± √3  vào (1) và (2) ta thấy chỉ có m = 1 + √3 thỏa mãn.

Vậy giá trị cần tìm là m = 1 + √3

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Khi m = −2, ta có phương trình x⁴ + 2x³ − x² – 2x + 1 = 0

Kiểm tra ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình

Chia hai vế của phương trình cho x²+ ta được:

Đặt . Thay vào phương trình nêu trên ta được:

t² + 2t – 1 = 0 ⇔ t = −1

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì

Vậy  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Với  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

Vậy  thỏa mãn điều kiện bài toán

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

+) Xét với mọi m ∈ R

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m

+) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là x₁; x₂

Vì phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu nên x₁x₂ ≠ 0, do đó A được xác định với mọi x₁; x₂

Do x₁; x₂ trái dấu nên , suy ra A < 0

Khi đó  mang giá trị âm và A đạt giá trị lớn nhất khi –A có giá trị nhỏ nhất.

Ta có (BĐT Cô-si), suy ra A ≤ −2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là −2

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Ta có ∆ = m² – 4(m – 1) = (m – 2)² ≥ 0, với mọi m

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Theo hệ thức Vi-ét, ta có x₁ + x₂ = m và x₁.x₂ = m – 1

Thay m = x₁ + x₂ vào x₁.x₂ = m – 1, ta được x₁.x₂ = x₁ + x₂ – 1

Vậy hệ thức liên hệ giữa x₁; x₂ không phụ thuộc vào m là x₁.x₂ = x₁ + x₂ – 1

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Ta có ∆' =(m – 1)² – (2m² – 3m + 1) = −m² + m = m(1 – m). Để phương trình có hai nghiệm

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Ta có ∆ = (2m + 1)² – 4(m² + 1) = 4m – 3. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt . Theo định lý Vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = 2m + 1 và x₁.x₂ = m² + 1.

Để P ∈ Z thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5, suy ra 2m + 1 = 5 ⇔ m = 2

Thử lại với m = 2, ta được P = 1 (thỏa mãn)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải:

Ta có ∆' = (m + 1)² – (m² + 2) = 2m – 1

Để phương trình có hai nghiệm . Theo định lý Vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = 2m + 2 và x₁.x₂ = m² + 2. Ta có:

P = x₁.x₂ – 2(x₁ + x₂) – 6 = m² + 2 – 2(2m + 2) – 6 = m² – 4m – 8

= (m – 2)² – 12 ≥ −12

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = 2 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy với m = 2 thì biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất −12

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Ta có ∆ =(3a – 1)² + 16 > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 24

Đáp án cần chọn là: A

Lời giải:

Vì phương trình bậc hai có 2 nghiệm nên a ≠ 0. Biểu thức Q có dạng đẳng cấp bậc hai ta chia cả tử và mẫu của Q cho a² thì  

Gọi x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình, theo Vi-ét ta có

Ta đánh giá (x₁ + x₂)² qua x₁x₂ với điều kiện x₁; x₂ ∈ [0; 3]

Vậy giá trị lớn nhất của Q là 3

Đáp án cần chọn là: D

Lời giải:

Phương trình x² – (m + 1)x – 3 = 0  (1)

+ Nhận xét ∆ = (m + 1)² + 12 > 0, ∀ m ∈ R. Suy ra (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

+ Nếu B ≠ 3 thì (*) là phương trình bậc 2 ẩn m. Phương trình (*) có nghiệm m khi và chỉ khi ∆' ≥ 0

Hay (B – 5)² – (B – 3)(3B – 20) ≥ 0 ⇔ 2B² – 19B + 35 ≤ 0

⇔ (2B – 5)(B – 7) ≤ 0

Đáp án cần chọn là: A