Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC

Trang trước Trang sau

Bài 1 trang 110 VTH Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn tâm I;

b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC

a) Do hai tam giác AEH và AFH vuông tại E và F nên IE = IA = IH = IF.

Vì vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn (I, IA).

b) Tương tự như trên, tứ giác BCEF có $\hat{B F C} = \hat{B E C} = 90 °$ nên tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (M, MB).

Suy ra $\hat{A E F} = 180 ° - \hat{CEF} = \hat{F B C} = \hat{A B C} .$

Vì ∆IFA cân tại I nên $\hat{I F A} = \hat{I A F} = \hat{H A B} = 90 ° - \hat{A B C} .$ (1)

Mặt khác, ta có MF = MC, hay ∆MFC cân tại M. Suy ra $\hat{M F C} = \hat{M C F} .$ (2)

Vì vậy ta có:

$\hat{M F I} = \hat{M F C} + \hat{C F I} = \hat{M C F} + (90 ° - \hat{I F A}) = (90 ° - \hat{A B C}) + \hat{A B C} - 90 °$ (theo (1) và (2)).

Do đó MF ⊥ IF. Suy ra MF tiếp xúc với (I, IA). Tương tự MR tiếp xúc với (I, IA).

Lời giải vở thực hành Toán 9 Bài tập cuối chương 9 hay khác:

Xem thêm các bài giải vở thực hành Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác