Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.29

Trang trước Trang sau

Bài 10 trang 106 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.29 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC.

Chứng minh rằng:

a) $\frac{B D}{B C} = \frac{A B}{A B + A C},$ từ đó suy ra $A E = \frac{A B . A C}{A B + A C};$

b) ∆DFC ᔕ ∆ABC;

c) DF = DB.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.29

(H.9.30). a) Kẻ đường thẳng qua D vuông góc và cắt AB tại K. Khi đó DK = AE.

Vì DE // AB, DK // AC nên ∆BDK ᔕ ∆BCA và ∆CDE ᔕ ∆CBA.

Suy ra $\frac{B D}{B C} = \frac{D K}{C A} = \frac{D E}{C A} = \frac{D E}{B A} . \frac{B A}{C A} = \frac{D C}{B C} . \frac{A B}{A C} .$

Do vậy $B D = \frac{D C . A B}{A C},$ hay $\frac{D C}{B D} = \frac{A B}{A C} .$ (*)

Từ (*) suy ra $\frac{B C}{B D} = 1 + \frac{C D}{B D} = 1 + \frac{A C}{A B} = \frac{A B + A C}{A B},$ do đó $\frac{B D}{B C} = \frac{A B}{A B + A C} .$

Theo định lí Thalès, ta có $\frac{A E}{A C} = \frac{B D}{B C} = \frac{A B}{A B + A C} .$ Suy ra $A E = \frac{A B . A C}{A B + A C} .$

b) Hai tam giác vuông DFC (vuông tại D) và ABC (vuông tại A) có góc nhọn C chung nên ∆DFC ᔕ ∆ABC (một cặp góc nhọn bằng nhau).

c) Từ ∆DFC ᔕ ∆ABC suy ra $\frac{D F}{A B} = \frac{D C}{A C} = \frac{D C}{D B} . \frac{D B}{A C} = \frac{A C}{A B} . \frac{D B}{A C} = \frac{D B}{A B} .$

Do đó DF = DB.

Lời giải vở thực hành Toán 8 Bài tập cuối chương 9 hay khác:

Xem thêm các bài giải vở thực hành Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác