Sự đồng quy của ba đường trung tuyến là gì lớp 7 (chi tiết nhất)

Trang trước Trang sau

Bài viết Sự đồng quy của ba đường trung tuyến là gì lớp 7 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Toán 7.

1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác

Định lí: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Chú ý:

⦁ Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

⦁ Để xác định trọng tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

2. Ví dụ minh họa về sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác

Ví dụ 1. Trong tam giác ABC (hình vẽ), các đường trung tuyến AD, BE, CF cùng đi qua điểm G (hay còn gọi là đồng quy tại điểm G).

Sự đồng quy của ba đường trung tuyến (ảnh 2)

Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $\frac{A G}{A D} = \frac{B G}{B E} = \frac{C G}{C F} = \frac{2}{3} .$

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G. Đường thẳng AG cắt BC tại M (hình vẽ). Chứng minh rằng M là trung điểm của cạnh BC.

Sự đồng quy của ba đường trung tuyến (ảnh 3)

Hướng dẫn giải

Hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vì G ∈ AM nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vậy M là trung điểm của cạnh BC.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC với AM là trung tuyến và G là trọng tâm tam giác.

a) Chứng minh GA = 2GM.

b) Biết GM = 2 cm, tính GA.

Hướng dẫn giải

Sự đồng quy của ba đường trung tuyến (ảnh 4)

Chứng minh

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\frac{G A}{M A} = \frac{2}{3}$ hay $G A = \frac{2}{3} M A .$

Ta có $G M = M A - G A = M A - \frac{2}{3} M A = \frac{1}{3} M A .$

Vậy $G A = \frac{2}{3} M A = 2. (\frac{1}{3} M A) = 2 G M .$

b) Khi GM = 2 cm thì GA = 2GM = 4 cm.

3. Bài tập về sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác

Bài 1. Quan sát hình vẽ và tìm số thích hợp cho $? :$

Sự đồng quy của ba đường trung tuyến (ảnh 5)

Bài 2. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại trọng tâm G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh:

a) ∆GMN = ∆GPQ;

b) MN // PQ.

Bài 3. Trong hình vẽ bên, G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM.

Sự đồng quy của ba đường trung tuyến (ảnh 6)

Hãy tính các tỉ số:

a) $\frac{G M}{A M};$

b) $\frac{G M}{A G};$

c) $\frac{A G}{G M} .$

Bài 4. Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng ba điểm P, G, I thẳng hàng.

Bài 5.Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 sách mới hay, chi tiết khác:

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 sách mới các môn học