Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

1. Phương pháp giải

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A; B; C không thẳng hàng

+) Tìm cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$

+) Tìm một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]$ .

+) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$

Phương trình mặt phẳng (P) là phương trình mặt chắn, tức mặt phẳng (P) đi qua A(a; 0; 0); B(0; b; 0); C(0; 0; c) có dạng: $\left(P\right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(−1; 0; 3), B(2; −1; 1), C(1; −1; 0).

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(3;-1;-2\right),\overrightarrow{AC}=\left(2;-1;-3\right)$.

Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right]=\left(-1;-5;1\right)$ .

Phương trình mặt phẳng (ABC): −(x + 1) – 5y + z – 3 = 0 ⇔ −x – 5y + z – 4 = 0.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0); B(0; −2; 0); C(0; 0; 3). Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm trên.

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua ba điểm A, B, C là $\frac{x}{1}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{3}=1$  

⇔ 6x – 3y + 2z – 6 = 0.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; −2; −2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1). Phương trình mặt phẳng (ABC) là

A. 2x – 3y + 6z = 0;

B. 4y + 2z – 3 = 0;

C. 3x + 2y + 1 = 0;

D. 2y + z – 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có  $\overrightarrow{AB}=\left(0;4;2\right),\overrightarrow{AC}=\left(-3;4;3\right)$nên $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(4;-6;12\right)=2\left(2;-3;6\right)$ .

Khi đó mặt phẳng (ABC) đi qua A(3; −2; −2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-3;6\right)$  có phương trình là 2x – 3y + 6z = 0.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 2; 1); B(3; 0; 1); C(1; 0; 1). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

A. z – 1 = 0;

B. x – 1 = 0;

C. y – 1 = 0;

D. 4x + 6y – 8z + 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(3;-2;0\right),\overrightarrow{AC}=\left(1;-2;0\right)$ .

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(0;0;-4\right)$ .

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là −4(z – 1) = 0 ⇔ z – 1 = 0.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(3; 0; 0), N(0; −2; 0) và P(0; 0; 2). Mặt phẳng (MNP) có phương trình là:

A. $\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{2}=-1$ ;

B. $\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{2}=0$ ;

C. $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{-2}=1$ ;

D. $\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{2}=1$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (MNP) có phương trình là $\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{2}=1$ .

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm O(0; 0; 0), A(0; 1; 0), B(0; 0; 1). Phương trình mặt phẳng (OAB) là

A. x = 0;

B. y = 1;

C. z = 1;

D. y + z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{OA}=\left(0;1;0\right),\overrightarrow{OB}=\left(0;0;1\right)$ .

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]=\left(1;0;0\right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng (OAB) là x = 0.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(5; 0; 0), B(0; 3; 0), C(4; 5; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là

A. z = 0;

B. y = 3;

C. −x + 2y = 0;

D. x = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-5;3;0\right),\overrightarrow{AC}=\left(-1;5;0\right)$ .

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(0;0;-22\right)$ .

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là 0(x – 5) + 0(y – 0) – 22z = 0 ⇔ z = 0.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với bc ≠ 0. Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là

A. $\frac{x}{1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0$ ;

B. $\frac{x}{1}-\frac{y}{b}-\frac{z}{c}=0$ ;

C. $\frac{x}{1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ ;

D. $\frac{x}{1}-\frac{y}{b}-\frac{z}{c}=0$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ .

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(5; 4; 3). Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của mặt phẳng (MNP) là

A. 12x + 15y + 20z – 60 = 0;

B. 12x + 15y + 20z + 60 = 0;

C. $\frac{x}{5}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=0$ ;

D. $\frac{x}{5}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}-60=0$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox, Oy, Oz nên M(5; 0; 0), N(0; 4; 0), P(0; 0; 3).

Phương trình mặt phẳng (MNP) là $\frac{x}{5}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=1$⇔ 12x + 15y + 20z – 60 = 0.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4). Biết phương trình mặt phẳng (ABC) là ax + by +cz −12 = 0. Khi đó giá trị của a + b + c bằng

A. −13;

B. 19;

C. 13;

D. −19.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1\iff 6x+4y+3z-12=0$

nên a + b + c = 13.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; −1; 0), C(0; 0; −3). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

A. −3x + 6y – 2z + 6 = 0;

B. −3x – 6y + 2z + 6 = 0;

C. −3x + 6y + 2z + 6 = 0;

D. −3x – 6y + 2z – 6 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (ABC) có dạng: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{-3}=1$⇔−3x + 6y + 2z + 6 = 0.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(−3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; −2) là

A. 4x − 3y + 6z + 12 = 0;

B. 4x + 3y + 6z + 12 = 0;

C. 4x + 3y – 6z + 12 = 0;

D. 4x – 3y + 6z – 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(−3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; −2) là

$\frac{x}{-3}+\frac{y}{4}+\frac{z}{-2}=1$⇔ 4x – 3y + 6z + 12 = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có cặp vectơ chỉ phương
• Viết phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
• Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế

---