Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

1. Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là $d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm có tọa độ A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1). Tính khoảng cách từ điểm M(1; 3; 5) đến mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng (P): $\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1$  ⇔ x + 2y + 2z – 2 = 0.

Khi đó $d(M,(P\left)\right)=\frac{\left|1+2.3+2.5-2\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=5$ .

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.EFGH cạnh 1. Điểm M được cho thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{CD}$. Tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (EBD).

Hướng dẫn giải:

Ta có A(0; 0; 0), $\overrightarrow{AE}=\left(0;0;1\right),\overrightarrow{CD}=\left(-1;0;0\right)$ .

Đặt M(a; b; c), suy ra $\overrightarrow{AM}=\left(a;b;c\right)$ .

Theo đề $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{CD}$  nên $\left\{\begin{array}{l}a+0=-3\\ b+0=0\\ c+1=0\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=0\\ c=-1\end{array}\right.$ . Suy ra M(−3; 0; −1).

Mặt phẳng (EBD) có phương trình x + y + z – 1 = 0.

Do đó $d\left(M,\left(EBD\right)\right)=\frac{\left|-3+0-1-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1; 2; 0) và mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 1 = 0. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

A. $-\frac{5}{3}$ ;

B. $\frac{7}{3}$ ;

C. $\frac{5}{3}$ ;

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.\left(-1\right)-2.2+0+1\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2+1^2}}=\frac{5}{3}$ .

Bài 2. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ M(1; 2; −3) đến (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 là

A. 3;

B. $\frac{2}{3}$ ;

C. $\frac{4}{3}$ ;

D. $\frac{11}{3}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|1+2.2+2.\left(-3\right)-10\right|}{\sqrt{1+2^2+2^2}}=\frac{11}{3}$ .

Bài 3. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(3; 1; −2) đến mặt phẳng z = 0.

A. $\sqrt{5}$ ;

B. $\sqrt{14}$  ;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách từ điểm A(3; 1; −2) đến mặt phẳng z = 0 bằng 2.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; −1; 3) và mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 1 = 0. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng

A. 2;

B. $\frac{5}{3}$ ;

C. 3;

D. $\frac{10}{3}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.2-2.\left(-1\right)+3+1\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2+1^2}}=\frac{10}{3}$ .

Bài 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm M(0; 3; −1) đến mặt phẳng (α): 2x + y – 2z – 2 = 0.

A. 1;

B. $\frac{4}{3}$ ;

C. $\frac{1}{3}$ ;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $d\left(M,\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|2.0+3-2.\left(-1\right)-2\right|}{\sqrt{2^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}}=1$ .

Bài 6. Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 và (Q): x + 2y + 2z – 5 = 0 bằng

A. $\frac{5}{3}$ ;

B. $\frac{7}{3}$ ;

C. 5;

D. $\frac{5}{9}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có M(10; 0; 0) ∈ (P) và (P) // (Q) nên

$d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=d\left(M,\left(Q\right)\right)=\frac{\left|10-5\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{5}{3}$.

Bài 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0 và mặt phẳng (Q): 2x – y + 2z + 4 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho bằng

A. 1;

B. $\frac{1}{3}$ ;

C. 3;

D. $\frac{1}{5}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dễ thấy (P) // (Q)  với M(0; 1; 0) ∈ (P).

Suy ra $d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|2.0-1+2.0+4\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=1$ .

Bài 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng song song (P): x + y + z – 2 = 0; (Q): x + y + z + 4 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ;

B. $\sqrt{3}$ ;

C. 6;

D. $2\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có (P) // (Q) nên d((P), (Q)) = d(M, (Q)) với M(0; 0; 2) ∈ (P).

Do đó $d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|4+2\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$ .

Bài 9. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0 bằng

A. 12;

B. 1;

C. $\frac{4}{3}$ ;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $d\left(O,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.0-0+2.0+12\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=4$ .

Bài 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng song song (P): 2x + y – 2z – 1 = 0, (Q): 6x + 3y – 6z + 15 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) bằng

A. 2;

B.$\frac{4}{3}$ ;

C. $\frac{16}{9}$ ;

D. $\frac{16}{3}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

(Q): 6x + 3y – 6z + 15 = 0 ⇔ 2x + y – 2z + 5 = 0.

Lấy M(0; 1; 0) ∈ (P).

Khi đó $d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=d\left(M,\left(Q\right)\right)=\frac{\left|1+5\right|}{\sqrt{2^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}}=2$ .

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác
• Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
• Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế
• Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng trong không gian
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ chỉ phương
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

---